Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30120 / 15318
↖ ↑ ↗
← N 68.740367°
W 14.545898°		 ← 221.47 m → N 68.740367°
W 14.540405°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
N 68.738376°
W 14.545898°		 ← 221.49 m →
49 048 m²		 N 68.738376°
W 14.540405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459602355957031 y=0.233741760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459602355957031 × 216)
    floor (0.459602355957031 × 65536)
    floor (30120.5)     		tx = 30120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233741760253906 × 216)
    floor (0.233741760253906 × 65536)
    floor (15318.5)     		ty = 15318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30120 / 15318 ti = "16/30120/15318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30120/15318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30120 ÷ 216
    30120 ÷ 65536     		x = 0.4595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15318 ÷ 216
    15318 ÷ 65536     		y = 0.233734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25387382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233734130859375 × 2 - 1) × π
    0.53253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67299779673996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25387382} λ = -0.25387382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67299779673996))-π/2
    2×atan(5.32811649001141)-π/2
    2×1.38527103341168-π/2
    2.77054206682336-1.57079632675     		φ = 1.19974574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25387382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19974574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.740367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30120 KachelY 15318 -0.25387382 1.19974574 -14.545898 68.740367
    Oben rechts KachelX + 1 30121 KachelY 15318 -0.25377795 1.19974574 -14.540405 68.740367
    Unten links KachelX 30120 KachelY + 1 15319 -0.25387382 1.19971098 -14.545898 68.738376
    Unten rechts KachelX + 1 30121 KachelY + 1 15319 -0.25377795 1.19971098 -14.540405 68.738376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19974574-1.19971098) × R
    3.47599999999115e-05 × 6371000     		dl = 221.455959999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19974574-1.19971098) × R
    3.47599999999115e-05 × 6371000     		dr = 221.455959999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25387382--0.25377795) × cos(1.19974574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362594723019239 × 6371000     		do = 221.468422286684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25387382--0.25377795) × cos(1.19971098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362627117275214 × 6371000     		du = 221.488208302052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19974574)-sin(1.19971098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362594723019239-0.362627117275214)×R²
    abs(-0.25377795--0.25387382)×3.2394255974566e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2394255974566e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2394255974566e-05×40589641000000     		ar = 49047.692937209m²