Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3012 / 3208
↖ ↑ ↗
← S 70.844672°
E 84.726563°		 ← 3 206.81 m → S 70.844672°
E 84.814453°		 →
↑
3 204.55 m
↓
↑
3 204.55 m
↓
S 70.873492°
E 84.726563°		 ← 3 202.17 m →
10 268 948 m²		 S 70.873492°
E 84.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7354736328125 y=0.7833251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7354736328125 × 212)
    floor (0.7354736328125 × 4096)
    floor (3012.5)     		tx = 3012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7833251953125 × 212)
    floor (0.7833251953125 × 4096)
    floor (3208.5)     		ty = 3208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3012 / 3208 ti = "12/3012/3208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3012/3208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3012 ÷ 212
    3012 ÷ 4096     		x = 0.7353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3208 ÷ 212
    3208 ÷ 4096     		y = 0.783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7353515625 × 2 - 1) × π
    0.470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.47875748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783203125 × 2 - 1) × π
    -0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47875748} λ = 1.47875748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77941771389648))-π/2
    2×atan(0.168736371512804)-π/2
    2×0.167161765923175-π/2
    0.33432353184635-1.57079632675     		φ = -1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47875748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.726563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3012 KachelY 3208 1.47875748 -1.23647279 84.726563 -70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 3013 KachelY 3208 1.48029146 -1.23647279 84.814453 -70.844672
    Unten links KachelX 3012 KachelY + 1 3209 1.47875748 -1.23697578 84.726563 -70.873492
    Unten rechts KachelX + 1 3013 KachelY + 1 3209 1.48029146 -1.23697578 84.814453 -70.873492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23647279--1.23697578) × R
    0.000502989999999981 × 6371000     		dl = 3204.54928999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23647279--1.23697578) × R
    0.000502989999999981 × 6371000     		dr = 3204.54928999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47875748-1.48029146) × cos(-1.23647279) × R
    0.00153397999999982 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 3206.81239169679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47875748-1.48029146) × cos(-1.23697578) × R
    0.00153397999999982 × 0.32765505368854 × 6371000     		du = 3202.16844256691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23647279)-sin(-1.23697578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.32765505368854)×R²
    abs(1.48029146-1.47875748)×0.000475182186311318×R²
    0.00153397999999982×0.000475182186311318×6371000²
    0.00153397999999982×0.000475182186311318×40589641000000     		ar = 10268947.7075316m²