Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30119 / 42723
↖ ↑ ↗
← S 47.883197°
W 14.551391°		 ← 409.62 m → S 47.883197°
W 14.545898°		 →
↑
409.66 m
↓
↑
409.66 m
↓
S 47.886881°
W 14.551391°		 ← 409.59 m →
167 798 m²		 S 47.886881°
W 14.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459587097167969 y=0.651908874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459587097167969 × 216)
    floor (0.459587097167969 × 65536)
    floor (30119.5)     		tx = 30119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651908874511719 × 216)
    floor (0.651908874511719 × 65536)
    floor (42723.5)     		ty = 42723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30119 / 42723 ti = "16/30119/42723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30119/42723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30119 ÷ 216
    30119 ÷ 65536     		x = 0.459579467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42723 ÷ 216
    42723 ÷ 65536     		y = 0.651901245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459579467773438 × 2 - 1) × π
    -0.080841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25396969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651901245117188 × 2 - 1) × π
    -0.303802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.954423671435318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25396969} λ = -0.25396969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954423671435318))-π/2
    2×atan(0.385033986704765)-π/2
    2×0.367538441185843-π/2
    0.735076882371686-1.57079632675     		φ = -0.83571944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25396969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.551391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83571944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.883197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30119 KachelY 42723 -0.25396969 -0.83571944 -14.551391 -47.883197
    Oben rechts KachelX + 1 30120 KachelY 42723 -0.25387382 -0.83571944 -14.545898 -47.883197
    Unten links KachelX 30119 KachelY + 1 42724 -0.25396969 -0.83578374 -14.551391 -47.886881
    Unten rechts KachelX + 1 30120 KachelY + 1 42724 -0.25387382 -0.83578374 -14.545898 -47.886881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83571944--0.83578374) × R
    6.43000000000171e-05 × 6371000     		dl = 409.655300000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83571944--0.83578374) × R
    6.43000000000171e-05 × 6371000     		dr = 409.655300000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25396969--0.25387382) × cos(-0.83571944) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.670644190644718 × 6371000     		do = 409.62126966757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25396969--0.25387382) × cos(-0.83578374) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.670596492856325 × 6371000     		du = 409.592136441764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83571944)-sin(-0.83578374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670644190644718-0.670596492856325)×R²
    abs(-0.25387382--0.25396969)×4.76977883929752e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.76977883929752e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.76977883929752e-05×40589641000000     		ar = 167797.556880102m²