Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30118 / 40911
↖ ↑ ↗
← S 40.776382°
W 14.556885°		 ← 462.58 m → S 40.776382°
W 14.551391°		 →
↑
462.53 m
↓
↑
462.53 m
↓
S 40.780542°
W 14.556885°		 ← 462.55 m →
213 951 m²		 S 40.780542°
W 14.551391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459571838378906 y=0.624259948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459571838378906 × 216)
    floor (0.459571838378906 × 65536)
    floor (30118.5)     		tx = 30118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624259948730469 × 216)
    floor (0.624259948730469 × 65536)
    floor (40911.5)     		ty = 40911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30118 / 40911 ti = "16/30118/40911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30118/40911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30118 ÷ 216
    30118 ÷ 65536     		x = 0.459564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40911 ÷ 216
    40911 ÷ 65536     		y = 0.624252319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.08087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25406557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624252319335938 × 2 - 1) × π
    -0.248504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.780700347212234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25406557} λ = -0.25406557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780700347212234))-π/2
    2×atan(0.45808508032781)-π/2
    2×0.429557103808143-π/2
    0.859114207616287-1.57079632675     		φ = -0.71168212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25406557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.556885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71168212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.776382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30118 KachelY 40911 -0.25406557 -0.71168212 -14.556885 -40.776382
    Oben rechts KachelX + 1 30119 KachelY 40911 -0.25396969 -0.71168212 -14.551391 -40.776382
    Unten links KachelX 30118 KachelY + 1 40912 -0.25406557 -0.71175472 -14.556885 -40.780542
    Unten rechts KachelX + 1 30119 KachelY + 1 40912 -0.25396969 -0.71175472 -14.551391 -40.780542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71168212--0.71175472) × R
    7.25999999999782e-05 × 6371000     		dl = 462.534599999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71168212--0.71175472) × R
    7.25999999999782e-05 × 6371000     		dr = 462.534599999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25406557--0.25396969) × cos(-0.71168212) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.757264340981964 × 6371000     		do = 462.576043440022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25406557--0.25396969) × cos(-0.71175472) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.757216923308942 × 6371000     		du = 462.547078284278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71168212)-sin(-0.71175472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757264340981964-0.757216923308942)×R²
    abs(-0.25396969--0.25406557)×4.74176730214104e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74176730214104e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74176730214104e-05×40589641000000     		ar = 213950.726622526m²