Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30118 / 30054
↖ ↑ ↗
← S 81.681966°
E150.886231°		 ← 176.73 m → S 81.681966°
E150.897217°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
S 81.683555°
E150.886231°		 ← 176.70 m →
31 231 m²		 S 81.683555°
E150.897217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919143676757812 y=0.917190551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919143676757812 × 215)
    floor (0.919143676757812 × 32768)
    floor (30118.5)     		tx = 30118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917190551757812 × 215)
    floor (0.917190551757812 × 32768)
    floor (30054.5)     		ty = 30054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30118 / 30054 ti = "15/30118/30054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30118/30054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30118 ÷ 215
    30118 ÷ 32768     		x = 0.91912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30054 ÷ 215
    30054 ÷ 32768     		y = 0.91717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91912841796875 × 2 - 1) × π
    0.8382568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63346152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91717529296875 × 2 - 1) × π
    -0.8343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62118967122467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63346152} λ = 2.63346152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62118967122467))-π/2
    2×atan(0.0727163028556192)-π/2
    2×0.0725885415673622-π/2
    0.145177083134724-1.57079632675     		φ = -1.42561924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63346152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.886231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42561924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.681966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30118 KachelY 30054 2.63346152 -1.42561924 150.886231 -81.681966
    Oben rechts KachelX + 1 30119 KachelY 30054 2.63365327 -1.42561924 150.897217 -81.681966
    Unten links KachelX 30118 KachelY + 1 30055 2.63346152 -1.42564698 150.886231 -81.683555
    Unten rechts KachelX + 1 30119 KachelY + 1 30055 2.63365327 -1.42564698 150.897217 -81.683555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42561924--1.42564698) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dl = 176.731539999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42561924--1.42564698) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dr = 176.731539999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63346152-2.63365327) × cos(-1.42561924) × R
    0.000191749999999935 × 0.144667655873391 × 6371000     		do = 176.731686620367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63346152-2.63365327) × cos(-1.42564698) × R
    0.000191749999999935 × 0.144640207634137 × 6371000     		du = 176.698154773952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42561924)-sin(-1.42564698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144667655873391-0.144640207634137)×R²
    abs(2.63365327-2.63346152)×2.74482392535469e-05×R²
    0.000191749999999935×2.74482392535469e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.74482392535469e-05×40589641000000     		ar = 31231.100077839m²