Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30117 / 15321
↖ ↑ ↗
← N 68.734391°
W 14.562378°		 ← 221.53 m → N 68.734391°
W 14.556885°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
N 68.732399°
W 14.562378°		 ← 221.55 m →
49 089 m²		 N 68.732399°
W 14.556885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459556579589844 y=0.233787536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459556579589844 × 216)
    floor (0.459556579589844 × 65536)
    floor (30117.5)     		tx = 30117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233787536621094 × 216)
    floor (0.233787536621094 × 65536)
    floor (15321.5)     		ty = 15321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30117 / 15321 ti = "16/30117/15321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30117/15321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30117 ÷ 216
    30117 ÷ 65536     		x = 0.459548950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15321 ÷ 216
    15321 ÷ 65536     		y = 0.233779907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459548950195312 × 2 - 1) × π
    -0.080902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25416144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233779907226562 × 2 - 1) × π
    0.532440185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67271017534224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25416144} λ = -0.25416144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67271017534224))-π/2
    2×atan(5.32658423006527)-π/2
    2×1.38521888142196-π/2
    2.77043776284391-1.57079632675     		φ = 1.19964144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25416144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.562378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19964144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.734391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30117 KachelY 15321 -0.25416144 1.19964144 -14.562378 68.734391
    Oben rechts KachelX + 1 30118 KachelY 15321 -0.25406557 1.19964144 -14.556885 68.734391
    Unten links KachelX 30117 KachelY + 1 15322 -0.25416144 1.19960666 -14.562378 68.732399
    Unten rechts KachelX + 1 30118 KachelY + 1 15322 -0.25406557 1.19960666 -14.556885 68.732399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19964144-1.19960666) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19964144-1.19960666) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25416144--0.25406557) × cos(1.19964144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362691923110865 × 6371000     		do = 221.527790913892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25416144--0.25406557) × cos(1.19960666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362724334689959 × 6371000     		du = 221.547587510009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19964144)-sin(1.19960666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362691923110865-0.362724334689959)×R²
    abs(-0.25406557--0.25416144)×3.24115790938939e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24115790938939e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24115790938939e-05×40589641000000     		ar = 49089.069978253m²