Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30116 / 42797
↖ ↑ ↗
← S 48.155093°
W 14.567871°		 ← 407.51 m → S 48.155093°
W 14.562378°		 →
↑
407.49 m
↓
↑
407.49 m
↓
S 48.158757°
W 14.567871°		 ← 407.48 m →
166 050 m²		 S 48.158757°
W 14.562378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459541320800781 y=0.653038024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459541320800781 × 216)
    floor (0.459541320800781 × 65536)
    floor (30116.5)     		tx = 30116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653038024902344 × 216)
    floor (0.653038024902344 × 65536)
    floor (42797.5)     		ty = 42797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30116 / 42797 ti = "16/30116/42797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30116/42797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30116 ÷ 216
    30116 ÷ 65536     		x = 0.45953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42797 ÷ 216
    42797 ÷ 65536     		y = 0.653030395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25425732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653030395507812 × 2 - 1) × π
    -0.306060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.961518332579086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25425732} λ = -0.25425732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961518332579086))-π/2
    2×atan(0.382311968356709)-π/2
    2×0.365165702447035-π/2
    0.73033140489407-1.57079632675     		φ = -0.84046492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25425732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84046492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.155093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30116 KachelY 42797 -0.25425732 -0.84046492 -14.567871 -48.155093
    Oben rechts KachelX + 1 30117 KachelY 42797 -0.25416144 -0.84046492 -14.562378 -48.155093
    Unten links KachelX 30116 KachelY + 1 42798 -0.25425732 -0.84052888 -14.567871 -48.158757
    Unten rechts KachelX + 1 30117 KachelY + 1 42798 -0.25416144 -0.84052888 -14.562378 -48.158757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84046492--0.84052888) × R
    6.39600000000851e-05 × 6371000     		dl = 407.489160000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84046492--0.84052888) × R
    6.39600000000851e-05 × 6371000     		dr = 407.489160000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25425732--0.25416144) × cos(-0.84046492) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.667116554238197 × 6371000     		do = 407.509134488872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25425732--0.25416144) × cos(-0.84052888) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.667068905657013 × 6371000     		du = 407.480028282536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84046492)-sin(-0.84052888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667116554238197-0.667068905657013)×R²
    abs(-0.25416144--0.25425732)×4.764858118389e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.764858118389e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.764858118389e-05×40589641000000     		ar = 166049.624730385m²