Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30115 / 42721
↖ ↑ ↗
← S 47.875829°
W 14.573364°		 ← 409.68 m → S 47.875829°
W 14.567871°		 →
↑
409.66 m
↓
↑
409.66 m
↓
S 47.879513°
W 14.573364°		 ← 409.65 m →
167 821 m²		 S 47.879513°
W 14.567871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459526062011719 y=0.651878356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459526062011719 × 216)
    floor (0.459526062011719 × 65536)
    floor (30115.5)     		tx = 30115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651878356933594 × 216)
    floor (0.651878356933594 × 65536)
    floor (42721.5)     		ty = 42721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30115 / 42721 ti = "16/30115/42721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30115/42721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30115 ÷ 216
    30115 ÷ 65536     		x = 0.459518432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42721 ÷ 216
    42721 ÷ 65536     		y = 0.651870727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459518432617188 × 2 - 1) × π
    -0.080963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25435319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651870727539062 × 2 - 1) × π
    -0.303741455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.954231923836838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25435319} λ = -0.25435319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954231923836838))-π/2
    2×atan(0.385107823125801)-π/2
    2×0.3676027429647-π/2
    0.7352054859294-1.57079632675     		φ = -0.83559084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25435319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.573364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83559084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.875829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30115 KachelY 42721 -0.25435319 -0.83559084 -14.573364 -47.875829
    Oben rechts KachelX + 1 30116 KachelY 42721 -0.25425732 -0.83559084 -14.567871 -47.875829
    Unten links KachelX 30115 KachelY + 1 42722 -0.25435319 -0.83565514 -14.573364 -47.879513
    Unten rechts KachelX + 1 30116 KachelY + 1 42722 -0.25425732 -0.83565514 -14.567871 -47.879513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83559084--0.83565514) × R
    6.43000000000171e-05 × 6371000     		dl = 409.655300000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83559084--0.83565514) × R
    6.43000000000171e-05 × 6371000     		dr = 409.655300000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25435319--0.25425732) × cos(-0.83559084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.670739577902992 × 6371000     		do = 409.6795310381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25435319--0.25425732) × cos(-0.83565514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.670691885660339 × 6371000     		du = 409.650401199564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83559084)-sin(-0.83565514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670739577902992-0.670691885660339)×R²
    abs(-0.25425732--0.25435319)×4.76922426524418e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76922426524418e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76922426524418e-05×40589641000000     		ar = 167821.424652604m²