Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30115 / 41887
↖ ↑ ↗
← S 44.711610°
W 14.573364°		 ← 434.06 m → S 44.711610°
W 14.567871°		 →
↑
434.06 m
↓
↑
434.06 m
↓
S 44.715514°
W 14.573364°		 ← 434.03 m →
188 400 m²		 S 44.715514°
W 14.567871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459526062011719 y=0.639152526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459526062011719 × 216)
    floor (0.459526062011719 × 65536)
    floor (30115.5)     		tx = 30115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639152526855469 × 216)
    floor (0.639152526855469 × 65536)
    floor (41887.5)     		ty = 41887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30115 / 41887 ti = "16/30115/41887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30115/41887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30115 ÷ 216
    30115 ÷ 65536     		x = 0.459518432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41887 ÷ 216
    41887 ÷ 65536     		y = 0.639144897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459518432617188 × 2 - 1) × π
    -0.080963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25435319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639144897460938 × 2 - 1) × π
    -0.278289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.874273175270584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25435319} λ = -0.25435319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874273175270584))-π/2
    2×atan(0.417165115438569)-π/2
    2×0.39521575827494-π/2
    0.79043151654988-1.57079632675     		φ = -0.78036481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25435319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.573364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78036481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.711610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30115 KachelY 41887 -0.25435319 -0.78036481 -14.573364 -44.711610
    Oben rechts KachelX + 1 30116 KachelY 41887 -0.25425732 -0.78036481 -14.567871 -44.711610
    Unten links KachelX 30115 KachelY + 1 41888 -0.25435319 -0.78043294 -14.573364 -44.715514
    Unten rechts KachelX + 1 30116 KachelY + 1 41888 -0.25425732 -0.78043294 -14.567871 -44.715514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78036481--0.78043294) × R
    6.81299999999441e-05 × 6371000     		dl = 434.056229999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78036481--0.78043294) × R
    6.81299999999441e-05 × 6371000     		dr = 434.056229999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25435319--0.25425732) × cos(-0.78036481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710656927346611 × 6371000     		do = 434.060559889079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25435319--0.25425732) × cos(-0.78043294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710608993604276 × 6371000     		du = 434.03128254549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78036481)-sin(-0.78043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710656927346611-0.710608993604276)×R²
    abs(-0.25425732--0.25435319)×4.79337423355819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79337423355819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79337423355819e-05×40589641000000     		ar = 188400.336283206m²