Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30115 / 39416
↖ ↑ ↗
← S 34.270836°
W 14.573364°		 ← 504.75 m → S 34.270836°
W 14.567871°		 →
↑
504.77 m
↓
↑
504.77 m
↓
S 34.275375°
W 14.573364°		 ← 504.72 m →
254 776 m²		 S 34.275375°
W 14.567871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459526062011719 y=0.601448059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459526062011719 × 216)
    floor (0.459526062011719 × 65536)
    floor (30115.5)     		tx = 30115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601448059082031 × 216)
    floor (0.601448059082031 × 65536)
    floor (39416.5)     		ty = 39416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30115 / 39416 ti = "16/30115/39416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30115/39416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30115 ÷ 216
    30115 ÷ 65536     		x = 0.459518432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39416 ÷ 216
    39416 ÷ 65536     		y = 0.6014404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459518432617188 × 2 - 1) × π
    -0.080963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25435319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.202880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.637369017348267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25435319} λ = -0.25435319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.637369017348267))-π/2
    2×atan(0.528681547842104)-π/2
    2×0.486328701021407-π/2
    0.972657402042815-1.57079632675     		φ = -0.59813892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25435319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.573364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59813892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.270836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30115 KachelY 39416 -0.25435319 -0.59813892 -14.573364 -34.270836
    Oben rechts KachelX + 1 30116 KachelY 39416 -0.25425732 -0.59813892 -14.567871 -34.270836
    Unten links KachelX 30115 KachelY + 1 39417 -0.25435319 -0.59821815 -14.573364 -34.275375
    Unten rechts KachelX + 1 30116 KachelY + 1 39417 -0.25425732 -0.59821815 -14.567871 -34.275375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59813892--0.59821815) × R
    7.92299999999857e-05 × 6371000     		dl = 504.774329999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59813892--0.59821815) × R
    7.92299999999857e-05 × 6371000     		dr = 504.774329999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25435319--0.25425732) × cos(-0.59813892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.826385029793894 × 6371000     		do = 504.745869509185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25435319--0.25425732) × cos(-0.59821815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.826340412352923 × 6371000     		du = 504.718617721911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59813892)-sin(-0.59821815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826385029793894-0.826340412352923)×R²
    abs(-0.25425732--0.25435319)×4.46174409706179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46174409706179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46174409706179e-05×40589641000000     		ar = 254775.880233458m²