Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30114 / 39266
↖ ↑ ↗
← S 33.587168°
W 14.578857°		 ← 508.81 m → S 33.587168°
W 14.573364°		 →
↑
508.79 m
↓
↑
508.79 m
↓
S 33.591743°
W 14.578857°		 ← 508.79 m →
258 872 m²		 S 33.591743°
W 14.573364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459510803222656 y=0.599159240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459510803222656 × 216)
    floor (0.459510803222656 × 65536)
    floor (30114.5)     		tx = 30114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599159240722656 × 216)
    floor (0.599159240722656 × 65536)
    floor (39266.5)     		ty = 39266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30114 / 39266 ti = "16/30114/39266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30114/39266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30114 ÷ 216
    30114 ÷ 65536     		x = 0.459503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39266 ÷ 216
    39266 ÷ 65536     		y = 0.599151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.08099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25444906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.19830322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.62298794746225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25444906} λ = -0.25444906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62298794746225))-π/2
    2×atan(0.536339486825881)-π/2
    2×0.492294835162532-π/2
    0.984589670325065-1.57079632675     		φ = -0.58620666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25444906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58620666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.587168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30114 KachelY 39266 -0.25444906 -0.58620666 -14.578857 -33.587168
    Oben rechts KachelX + 1 30115 KachelY 39266 -0.25435319 -0.58620666 -14.573364 -33.587168
    Unten links KachelX 30114 KachelY + 1 39267 -0.25444906 -0.58628652 -14.578857 -33.591743
    Unten rechts KachelX + 1 30115 KachelY + 1 39267 -0.25435319 -0.58628652 -14.573364 -33.591743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58620666--0.58628652) × R
    7.98600000000427e-05 × 6371000     		dl = 508.788060000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58620666--0.58628652) × R
    7.98600000000427e-05 × 6371000     		dr = 508.788060000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25444906--0.25435319) × cos(-0.58620666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833045162187906 × 6371000     		do = 508.813796922028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25444906--0.25435319) × cos(-0.58628652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83300098058126 × 6371000     		du = 508.78681133703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58620666)-sin(-0.58628652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833045162187906-0.83300098058126)×R²
    abs(-0.25435319--0.25444906)×4.41816066456546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41816066456546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41816066456546e-05×40589641000000     		ar = 258871.519803593m²