Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30114 / 15345
↖ ↑ ↗
← N 68.686524°
W 14.578857°		 ← 222 m → N 68.686524°
W 14.573364°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
N 68.684527°
W 14.578857°		 ← 222.02 m →
49 293 m²		 N 68.684527°
W 14.573364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459510803222656 y=0.234153747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459510803222656 × 216)
    floor (0.459510803222656 × 65536)
    floor (30114.5)     		tx = 30114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234153747558594 × 216)
    floor (0.234153747558594 × 65536)
    floor (15345.5)     		ty = 15345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30114 / 15345 ti = "16/30114/15345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30114/15345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30114 ÷ 216
    30114 ÷ 65536     		x = 0.459503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15345 ÷ 216
    15345 ÷ 65536     		y = 0.234146118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.08099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25444906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234146118164062 × 2 - 1) × π
    0.531707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67040920416048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25444906} λ = -0.25444906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67040920416048))-π/2
    2×atan(5.31434200316165)-π/2
    2×1.38480116193772-π/2
    2.76960232387543-1.57079632675     		φ = 1.19880600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25444906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19880600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.686524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30114 KachelY 15345 -0.25444906 1.19880600 -14.578857 68.686524
    Oben rechts KachelX + 1 30115 KachelY 15345 -0.25435319 1.19880600 -14.573364 68.686524
    Unten links KachelX 30114 KachelY + 1 15346 -0.25444906 1.19877115 -14.578857 68.684527
    Unten rechts KachelX + 1 30115 KachelY + 1 15346 -0.25435319 1.19877115 -14.573364 68.684527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19880600-1.19877115) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19880600-1.19877115) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25444906--0.25435319) × cos(1.19880600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363470350585798 × 6371000     		do = 222.003244895413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25444906--0.25435319) × cos(1.19877115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363502816826034 × 6371000     		du = 222.023074877887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19880600)-sin(1.19877115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363470350585798-0.363502816826034)×R²
    abs(-0.25435319--0.25444906)×3.24662402357845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24662402357845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24662402357845e-05×40589641000000     		ar = 49293.4375861034m²