Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30113 / 17058
↖ ↑ ↗
← N 64.993296°
W 14.584351°		 ← 258.22 m → N 64.993296°
W 14.578857°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
N 64.990973°
W 14.584351°		 ← 258.24 m →
66 680 m²		 N 64.990973°
W 14.578857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459495544433594 y=0.260292053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459495544433594 × 216)
    floor (0.459495544433594 × 65536)
    floor (30113.5)     		tx = 30113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260292053222656 × 216)
    floor (0.260292053222656 × 65536)
    floor (17058.5)     		ty = 17058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30113 / 17058 ti = "16/30113/17058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30113/17058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30113 ÷ 216
    30113 ÷ 65536     		x = 0.459487915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17058 ÷ 216
    17058 ÷ 65536     		y = 0.260284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459487915039062 × 2 - 1) × π
    -0.081024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25454494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260284423828125 × 2 - 1) × π
    0.47943115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50617738606216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25454494} λ = -0.25454494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50617738606216))-π/2
    2×atan(4.50945988113455)-π/2
    2×1.35257166175459-π/2
    2.70514332350917-1.57079632675     		φ = 1.13434700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25454494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.584351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13434700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.993296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30113 KachelY 17058 -0.25454494 1.13434700 -14.584351 64.993296
    Oben rechts KachelX + 1 30114 KachelY 17058 -0.25444906 1.13434700 -14.578857 64.993296
    Unten links KachelX 30113 KachelY + 1 17059 -0.25454494 1.13430647 -14.584351 64.990973
    Unten rechts KachelX + 1 30114 KachelY + 1 17059 -0.25444906 1.13430647 -14.578857 64.990973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13434700-1.13430647) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dl = 258.216629999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13434700-1.13430647) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dr = 258.216629999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25454494--0.25444906) × cos(1.13434700) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.422724309361955 × 6371000     		do = 258.221770005708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25454494--0.25444906) × cos(1.13430647) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.422761039664805 × 6371000     		du = 258.244206765565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13434700)-sin(1.13430647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422724309361955-0.422761039664805)×R²
    abs(-0.25444906--0.25454494)×3.67303028501187e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.67303028501187e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.67303028501187e-05×40589641000000     		ar = 66680.0520246421m²