Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30112 / 42718
↖ ↑ ↗
← S 47.864774°
W 14.589844°		 ← 409.77 m → S 47.864774°
W 14.584351°		 →
↑
409.78 m
↓
↑
409.78 m
↓
S 47.868459°
W 14.589844°		 ← 409.74 m →
167 909 m²		 S 47.868459°
W 14.584351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459480285644531 y=0.651832580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459480285644531 × 216)
    floor (0.459480285644531 × 65536)
    floor (30112.5)     		tx = 30112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651832580566406 × 216)
    floor (0.651832580566406 × 65536)
    floor (42718.5)     		ty = 42718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30112 / 42718 ti = "16/30112/42718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30112/42718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30112 ÷ 216
    30112 ÷ 65536     		x = 0.45947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42718 ÷ 216
    42718 ÷ 65536     		y = 0.651824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.30364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.953944302439117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25464081} λ = -0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953944302439117))-π/2
    2×atan(0.385218604306917)-π/2
    2×0.367699212780892-π/2
    0.735398425561783-1.57079632675     		φ = -0.83539790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83539790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.864774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30112 KachelY 42718 -0.25464081 -0.83539790 -14.589844 -47.864774
    Oben rechts KachelX + 1 30113 KachelY 42718 -0.25454494 -0.83539790 -14.584351 -47.864774
    Unten links KachelX 30112 KachelY + 1 42719 -0.25464081 -0.83546222 -14.589844 -47.868459
    Unten rechts KachelX + 1 30113 KachelY + 1 42719 -0.25454494 -0.83546222 -14.584351 -47.868459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83539790--0.83546222) × R
    6.43200000000066e-05 × 6371000     		dl = 409.782720000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83539790--0.83546222) × R
    6.43200000000066e-05 × 6371000     		dr = 409.782720000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25464081--0.25454494) × cos(-0.83539790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.670882667653705 × 6371000     		do = 409.766928507848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25464081--0.25454494) × cos(-0.83546222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.670834968900734 × 6371000     		du = 409.73779469289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83539790)-sin(-0.83546222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670882667653705-0.670834968900734)×R²
    abs(-0.25454494--0.25464081)×4.76987529702821e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76987529702821e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76987529702821e-05×40589641000000     		ar = 167909.437320984m²