Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30112 / 41890
↖ ↑ ↗
← S 44.723320°
W 14.589844°		 ← 433.97 m → S 44.723320°
W 14.584351°		 →
↑
433.99 m
↓
↑
433.99 m
↓
S 44.727223°
W 14.589844°		 ← 433.94 m →
188 335 m²		 S 44.727223°
W 14.584351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459480285644531 y=0.639198303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459480285644531 × 216)
    floor (0.459480285644531 × 65536)
    floor (30112.5)     		tx = 30112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639198303222656 × 216)
    floor (0.639198303222656 × 65536)
    floor (41890.5)     		ty = 41890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30112 / 41890 ti = "16/30112/41890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30112/41890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30112 ÷ 216
    30112 ÷ 65536     		x = 0.45947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41890 ÷ 216
    41890 ÷ 65536     		y = 0.639190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.27838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.874560796668304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25464081} λ = -0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874560796668304))-π/2
    2×atan(0.417045147078547)-π/2
    2×0.395113568545842-π/2
    0.790227137091683-1.57079632675     		φ = -0.78056919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78056919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.723320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30112 KachelY 41890 -0.25464081 -0.78056919 -14.589844 -44.723320
    Oben rechts KachelX + 1 30113 KachelY 41890 -0.25454494 -0.78056919 -14.584351 -44.723320
    Unten links KachelX 30112 KachelY + 1 41891 -0.25464081 -0.78063731 -14.589844 -44.727223
    Unten rechts KachelX + 1 30113 KachelY + 1 41891 -0.25454494 -0.78063731 -14.584351 -44.727223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78056919--0.78063731) × R
    6.81200000000048e-05 × 6371000     		dl = 433.992520000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78056919--0.78063731) × R
    6.81200000000048e-05 × 6371000     		dr = 433.992520000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25464081--0.25454494) × cos(-0.78056919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710513123261372 × 6371000     		do = 433.972726112539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25464081--0.25454494) × cos(-0.78063731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710465186662217 × 6371000     		du = 433.94344702404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78056919)-sin(-0.78063731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710513123261372-0.710465186662217)×R²
    abs(-0.25454494--0.25464081)×4.79365991551406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79365991551406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79365991551406e-05×40589641000000     		ar = 188334.563636971m²