Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30112 / 20387
↖ ↑ ↗
← N 56.062836°
W 14.589844°		 ← 340.99 m → N 56.062836°
W 14.584351°		 →
↑
340.98 m
↓
↑
340.98 m
↓
N 56.059770°
W 14.589844°		 ← 341.02 m →
116 275 m²		 N 56.059770°
W 14.584351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459480285644531 y=0.311088562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459480285644531 × 216)
    floor (0.459480285644531 × 65536)
    floor (30112.5)     		tx = 30112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311088562011719 × 216)
    floor (0.311088562011719 × 65536)
    floor (20387.5)     		ty = 20387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30112 / 20387 ti = "16/30112/20387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30112/20387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30112 ÷ 216
    30112 ÷ 65536     		x = 0.45947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20387 ÷ 216
    20387 ÷ 65536     		y = 0.311080932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311080932617188 × 2 - 1) × π
    0.377838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18701350839183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25464081} λ = -0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18701350839183))-π/2
    2×atan(3.27727901131563)-π/2
    2×1.27463870448551-π/2
    2.54927740897102-1.57079632675     		φ = 0.97848108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97848108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.062836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30112 KachelY 20387 -0.25464081 0.97848108 -14.589844 56.062836
    Oben rechts KachelX + 1 30113 KachelY 20387 -0.25454494 0.97848108 -14.584351 56.062836
    Unten links KachelX 30112 KachelY + 1 20388 -0.25464081 0.97842756 -14.589844 56.059770
    Unten rechts KachelX + 1 30113 KachelY + 1 20388 -0.25454494 0.97842756 -14.584351 56.059770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97848108-0.97842756) × R
    5.35200000000291e-05 × 6371000     		dl = 340.975920000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97848108-0.97842756) × R
    5.35200000000291e-05 × 6371000     		dr = 340.975920000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25464081--0.25454494) × cos(0.97848108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55828336278891 × 6371000     		do = 340.992650185932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25464081--0.25454494) × cos(0.97842756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55832776487552 × 6371000     		du = 341.019770437396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97848108)-sin(0.97842756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55828336278891-0.55832776487552)×R²
    abs(-0.25454494--0.25464081)×4.44020866103845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44020866103845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44020866103845e-05×40589641000000     		ar = 116274.906314742m²