Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30111 / 20382
↖ ↑ ↗
← N 56.078167°
W 14.595337°		 ← 340.86 m → N 56.078167°
W 14.589844°		 →
↑
340.85 m
↓
↑
340.85 m
↓
N 56.075102°
W 14.595337°		 ← 340.88 m →
116 185 m²		 N 56.075102°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459465026855469 y=0.311012268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459465026855469 × 216)
    floor (0.459465026855469 × 65536)
    floor (30111.5)     		tx = 30111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311012268066406 × 216)
    floor (0.311012268066406 × 65536)
    floor (20382.5)     		ty = 20382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30111 / 20382 ti = "16/30111/20382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30111/20382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30111 ÷ 216
    30111 ÷ 65536     		x = 0.459457397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20382 ÷ 216
    20382 ÷ 65536     		y = 0.311004638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459457397460938 × 2 - 1) × π
    -0.081085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25473668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311004638671875 × 2 - 1) × π
    0.37799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18749287738803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25473668} λ = -0.25473668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18749287738803))-π/2
    2×atan(3.2788504138763)-π/2
    2×1.27477248974555-π/2
    2.54954497949109-1.57079632675     		φ = 0.97874865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25473668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.595337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97874865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.078167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30111 KachelY 20382 -0.25473668 0.97874865 -14.595337 56.078167
    Oben rechts KachelX + 1 30112 KachelY 20382 -0.25464081 0.97874865 -14.589844 56.078167
    Unten links KachelX 30111 KachelY + 1 20383 -0.25473668 0.97869515 -14.595337 56.075102
    Unten rechts KachelX + 1 30112 KachelY + 1 20383 -0.25464081 0.97869515 -14.589844 56.075102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97874865-0.97869515) × R
    5.35000000000396e-05 × 6371000     		dl = 340.848500000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97874865-0.97869515) × R
    5.35000000000396e-05 × 6371000     		dr = 340.848500000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25473668--0.25464081) × cos(0.97874865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558061353265271 × 6371000     		do = 340.857049484069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25473668--0.25464081) × cos(0.97869515) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558105746750024 × 6371000     		du = 340.884164481624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97874865)-sin(0.97869515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558061353265271-0.558105746750024)×R²
    abs(-0.25464081--0.25473668)×4.439348475338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.439348475338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.439348475338e-05×40589641000000     		ar = 116185.235112017m²