Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3011 / 5195
↖ ↑ ↗
← S 43.421009°
W 47.680664°		 ← 3 549.17 m → S 43.421009°
W 47.636719°		 →
↑
3 548.20 m
↓
↑
3 548.20 m
↓
S 43.452919°
W 47.680664°		 ← 3 547.30 m →
12 589 853 m²		 S 43.452919°
W 47.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36761474609375 y=0.63421630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36761474609375 × 213)
    floor (0.36761474609375 × 8192)
    floor (3011.5)     		tx = 3011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63421630859375 × 213)
    floor (0.63421630859375 × 8192)
    floor (5195.5)     		ty = 5195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3011 / 5195 ti = "13/3011/5195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3011/5195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3011 ÷ 213
    3011 ÷ 8192     		x = 0.3675537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5195 ÷ 213
    5195 ÷ 8192     		y = 0.6341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83218458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.842922442919067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83218458} λ = -0.83218458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842922442919067))-π/2
    2×atan(0.430450715821342)-π/2
    2×0.406478379096143-π/2
    0.812956758192285-1.57079632675     		φ = -0.75783957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83218458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75783957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.421009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3011 KachelY 5195 -0.83218458 -0.75783957 -47.680664 -43.421009
    Oben rechts KachelX + 1 3012 KachelY 5195 -0.83141759 -0.75783957 -47.636719 -43.421009
    Unten links KachelX 3011 KachelY + 1 5196 -0.83218458 -0.75839650 -47.680664 -43.452919
    Unten rechts KachelX + 1 3012 KachelY + 1 5196 -0.83141759 -0.75839650 -47.636719 -43.452919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75783957--0.75839650) × R
    0.000556930000000011 × 6371000     		dl = 3548.20103000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75783957--0.75839650) × R
    0.000556930000000011 × 6371000     		dr = 3548.20103000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83218458--0.83141759) × cos(-0.75783957) × R
    0.000766989999999912 × 0.726322684570668 × 6371000     		do = 3549.17092452895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83218458--0.83141759) × cos(-0.75839650) × R
    0.000766989999999912 × 0.725939763951328 × 6371000     		du = 3547.29978549194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75783957)-sin(-0.75839650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726322684570668-0.725939763951328)×R²
    abs(-0.83141759--0.83218458)×0.000382920619340532×R²
    0.000766989999999912×0.000382920619340532×6371000²
    0.000766989999999912×0.000382920619340532×40589641000000     		ar = 12589852.666748m²