Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30109 / 42717
↖ ↑ ↗
← S 47.861089°
W 14.606323°		 ← 409.80 m → S 47.861089°
W 14.600830°		 →
↑
409.78 m
↓
↑
409.78 m
↓
S 47.864774°
W 14.606323°		 ← 409.77 m →
167 921 m²		 S 47.864774°
W 14.600830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459434509277344 y=0.651817321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459434509277344 × 216)
    floor (0.459434509277344 × 65536)
    floor (30109.5)     		tx = 30109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651817321777344 × 216)
    floor (0.651817321777344 × 65536)
    floor (42717.5)     		ty = 42717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30109 / 42717 ti = "16/30109/42717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30109/42717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30109 ÷ 216
    30109 ÷ 65536     		x = 0.459426879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42717 ÷ 216
    42717 ÷ 65536     		y = 0.651809692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459426879882812 × 2 - 1) × π
    -0.081146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25492843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651809692382812 × 2 - 1) × π
    -0.303619384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.953848428639877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25492843} λ = -0.25492843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953848428639877))-π/2
    2×atan(0.385255538448529)-π/2
    2×0.367731373959182-π/2
    0.735462747918364-1.57079632675     		φ = -0.83533358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25492843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.606323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83533358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.861089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30109 KachelY 42717 -0.25492843 -0.83533358 -14.606323 -47.861089
    Oben rechts KachelX + 1 30110 KachelY 42717 -0.25483256 -0.83533358 -14.600830 -47.861089
    Unten links KachelX 30109 KachelY + 1 42718 -0.25492843 -0.83539790 -14.606323 -47.864774
    Unten rechts KachelX + 1 30110 KachelY + 1 42718 -0.25483256 -0.83539790 -14.600830 -47.864774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83533358--0.83539790) × R
    6.43200000000066e-05 × 6371000     		dl = 409.782720000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83533358--0.83539790) × R
    6.43200000000066e-05 × 6371000     		dr = 409.782720000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25492843--0.25483256) × cos(-0.83533358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.670930363631191 × 6371000     		do = 409.796060627576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25492843--0.25483256) × cos(-0.83539790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.670882667653705 × 6371000     		du = 409.766928507848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83533358)-sin(-0.83539790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670930363631191-0.670882667653705)×R²
    abs(-0.25483256--0.25492843)×4.76959774868835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76959774868835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76959774868835e-05×40589641000000     		ar = 167921.375507437m²