Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30108 / 17124
↖ ↑ ↗
← N 64.839597°
W 14.611817°		 ← 259.71 m → N 64.839597°
W 14.606323°		 →
↑
259.75 m
↓
↑
259.75 m
↓
N 64.837261°
W 14.611817°		 ← 259.73 m →
67 460 m²		 N 64.837261°
W 14.606323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459419250488281 y=0.261299133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459419250488281 × 216)
    floor (0.459419250488281 × 65536)
    floor (30108.5)     		tx = 30108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261299133300781 × 216)
    floor (0.261299133300781 × 65536)
    floor (17124.5)     		ty = 17124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30108 / 17124 ti = "16/30108/17124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30108/17124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30108 ÷ 216
    30108 ÷ 65536     		x = 0.45941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17124 ÷ 216
    17124 ÷ 65536     		y = 0.26129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45941162109375 × 2 - 1) × π
    -0.0811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25502431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26129150390625 × 2 - 1) × π
    0.4774169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49984971531232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25502431} λ = -0.25502431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49984971531232))-π/2
    2×atan(4.48101559170387)-π/2
    2×1.35123039113762-π/2
    2.70246078227524-1.57079632675     		φ = 1.13166446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25502431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.611817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13166446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.839597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30108 KachelY 17124 -0.25502431 1.13166446 -14.611817 64.839597
    Oben rechts KachelX + 1 30109 KachelY 17124 -0.25492843 1.13166446 -14.606323 64.839597
    Unten links KachelX 30108 KachelY + 1 17125 -0.25502431 1.13162369 -14.611817 64.837261
    Unten rechts KachelX + 1 30109 KachelY + 1 17125 -0.25492843 1.13162369 -14.606323 64.837261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13166446-1.13162369) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dl = 259.745670000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13166446-1.13162369) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dr = 259.745670000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25502431--0.25492843) × cos(1.13166446) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.425153859697695 × 6371000     		do = 259.70586442403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25502431--0.25492843) × cos(1.13162369) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.425190761131361 × 6371000     		du = 259.728405719399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13166446)-sin(1.13162369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425153859697695-0.425190761131361)×R²
    abs(-0.25492843--0.25502431)×3.69014336659146e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.69014336659146e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.69014336659146e-05×40589641000000     		ar = 67460.4012689436m²