Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30106 / 20288
↖ ↑ ↗
← N 56.365250°
W 14.622803°		 ← 338.31 m → N 56.365250°
W 14.617310°		 →
↑
338.36 m
↓
↑
338.36 m
↓
N 56.362207°
W 14.622803°		 ← 338.34 m →
114 478 m²		 N 56.362207°
W 14.617310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459388732910156 y=0.309577941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459388732910156 × 216)
    floor (0.459388732910156 × 65536)
    floor (30106.5)     		tx = 30106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309577941894531 × 216)
    floor (0.309577941894531 × 65536)
    floor (20288.5)     		ty = 20288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30106 / 20288 ti = "16/30106/20288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30106/20288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30106 ÷ 216
    30106 ÷ 65536     		x = 0.459381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20288 ÷ 216
    20288 ÷ 65536     		y = 0.3095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.08123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25521605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3095703125 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1965050145166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25521605} λ = -0.25521605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1965050145166))-π/2
    2×atan(3.30853341617301)-π/2
    2×1.27727776268714-π/2
    2.55455552537428-1.57079632675     		φ = 0.98375920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25521605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.622803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98375920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.365250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30106 KachelY 20288 -0.25521605 0.98375920 -14.622803 56.365250
    Oben rechts KachelX + 1 30107 KachelY 20288 -0.25512018 0.98375920 -14.617310 56.365250
    Unten links KachelX 30106 KachelY + 1 20289 -0.25521605 0.98370609 -14.622803 56.362207
    Unten rechts KachelX + 1 30107 KachelY + 1 20289 -0.25512018 0.98370609 -14.617310 56.362207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98375920-0.98370609) × R
    5.31099999999673e-05 × 6371000     		dl = 338.363809999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98375920-0.98370609) × R
    5.31099999999673e-05 × 6371000     		dr = 338.363809999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25521605--0.25512018) × cos(0.98375920) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.553896612603209 × 6371000     		do = 338.313276822656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25521605--0.25512018) × cos(0.98370609) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.553940830435608 × 6371000     		du = 338.340284533901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98375920)-sin(0.98370609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553896612603209-0.553940830435608)×R²
    abs(-0.25512018--0.25521605)×4.42178323990516e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.42178323990516e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.42178323990516e-05×40589641000000     		ar = 114477.538562413m²