Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30105 / 15179
↖ ↑ ↗
← N 69.015513°
W 14.628296°		 ← 218.76 m → N 69.015513°
W 14.622803°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
N 69.013546°
W 14.628296°		 ← 218.77 m →
47 847 m²		 N 69.013546°
W 14.622803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459373474121094 y=0.231620788574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459373474121094 × 216)
    floor (0.459373474121094 × 65536)
    floor (30105.5)     		tx = 30105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231620788574219 × 216)
    floor (0.231620788574219 × 65536)
    floor (15179.5)     		ty = 15179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30105 / 15179 ti = "16/30105/15179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30105/15179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30105 ÷ 216
    30105 ÷ 65536     		x = 0.459365844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15179 ÷ 216
    15179 ÷ 65536     		y = 0.231613159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459365844726562 × 2 - 1) × π
    -0.081268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25531193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231613159179688 × 2 - 1) × π
    0.536773681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68632425483434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25531193} λ = -0.25531193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68632425483434))-π/2
    2×atan(5.39959664189153)-π/2
    2×1.3876721346239-π/2
    2.7753442692478-1.57079632675     		φ = 1.20454794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25531193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.628296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20454794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.015513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30105 KachelY 15179 -0.25531193 1.20454794 -14.628296 69.015513
    Oben rechts KachelX + 1 30106 KachelY 15179 -0.25521605 1.20454794 -14.622803 69.015513
    Unten links KachelX 30105 KachelY + 1 15180 -0.25531193 1.20451361 -14.628296 69.013546
    Unten rechts KachelX + 1 30106 KachelY + 1 15180 -0.25521605 1.20451361 -14.622803 69.013546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20454794-1.20451361) × R
    3.43300000000824e-05 × 6371000     		dl = 218.716430000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20454794-1.20451361) × R
    3.43300000000824e-05 × 6371000     		dr = 218.716430000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25531193--0.25521605) × cos(1.20454794) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.358115163794973 × 6371000     		do = 218.755177814585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25531193--0.25521605) × cos(1.20451361) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.358147216729857 × 6371000     		du = 218.774757397297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20454794)-sin(1.20451361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358115163794973-0.358147216729857)×R²
    abs(-0.25521605--0.25531193)×3.20529348832865e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.20529348832865e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.20529348832865e-05×40589641000000     		ar = 47847.4927282577m²