Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30104 / 42792
↖ ↑ ↗
← S 48.136767°
W 14.633789°		 ← 407.61 m → S 48.136767°
W 14.628296°		 →
↑
407.62 m
↓
↑
407.62 m
↓
S 48.140432°
W 14.633789°		 ← 407.58 m →
166 144 m²		 S 48.140432°
W 14.628296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459358215332031 y=0.652961730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459358215332031 × 216)
    floor (0.459358215332031 × 65536)
    floor (30104.5)     		tx = 30104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652961730957031 × 216)
    floor (0.652961730957031 × 65536)
    floor (42792.5)     		ty = 42792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30104 / 42792 ti = "16/30104/42792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30104/42792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30104 ÷ 216
    30104 ÷ 65536     		x = 0.4593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42792 ÷ 216
    42792 ÷ 65536     		y = 0.6529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25540780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.305908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.961038963582886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25540780} λ = -0.25540780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961038963582886))-π/2
    2×atan(0.382495280794855)-π/2
    2×0.365325628494146-π/2
    0.730651256988292-1.57079632675     		φ = -0.84014507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25540780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84014507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.136767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30104 KachelY 42792 -0.25540780 -0.84014507 -14.633789 -48.136767
    Oben rechts KachelX + 1 30105 KachelY 42792 -0.25531193 -0.84014507 -14.628296 -48.136767
    Unten links KachelX 30104 KachelY + 1 42793 -0.25540780 -0.84020905 -14.633789 -48.140432
    Unten rechts KachelX + 1 30105 KachelY + 1 42793 -0.25531193 -0.84020905 -14.628296 -48.140432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84014507--0.84020905) × R
    6.39799999999635e-05 × 6371000     		dl = 407.616579999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84014507--0.84020905) × R
    6.39799999999635e-05 × 6371000     		dr = 407.616579999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25540780--0.25531193) × cos(-0.84014507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667354793440794 × 6371000     		do = 407.612146084504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25540780--0.25531193) × cos(-0.84020905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667307143613514 × 6371000     		du = 407.583042152759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84014507)-sin(-0.84020905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667354793440794-0.667307143613514)×R²
    abs(-0.25531193--0.25540780)×4.7649827279117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7649827279117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7649827279117e-05×40589641000000     		ar = 166143.537387681m²