Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30103 / 15141
↖ ↑ ↗
← N 69.090139°
W 14.639282°		 ← 217.99 m → N 69.090139°
W 14.633789°		 →
↑
218.02 m
↓
↑
218.02 m
↓
N 69.088179°
W 14.639282°		 ← 218.01 m →
47 527 m²		 N 69.088179°
W 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459342956542969 y=0.231040954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459342956542969 × 216)
    floor (0.459342956542969 × 65536)
    floor (30103.5)     		tx = 30103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231040954589844 × 216)
    floor (0.231040954589844 × 65536)
    floor (15141.5)     		ty = 15141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30103 / 15141 ti = "16/30103/15141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30103/15141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30103 ÷ 216
    30103 ÷ 65536     		x = 0.459335327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15141 ÷ 216
    15141 ÷ 65536     		y = 0.231033325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459335327148438 × 2 - 1) × π
    -0.081329345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25550367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231033325195312 × 2 - 1) × π
    0.537933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68996745920546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25550367} λ = -0.25550367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68996745920546))-π/2
    2×atan(5.41930435379239)-π/2
    2×1.38832336955913-π/2
    2.77664673911827-1.57079632675     		φ = 1.20585041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25550367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.639282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20585041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.090139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30103 KachelY 15141 -0.25550367 1.20585041 -14.639282 69.090139
    Oben rechts KachelX + 1 30104 KachelY 15141 -0.25540780 1.20585041 -14.633789 69.090139
    Unten links KachelX 30103 KachelY + 1 15142 -0.25550367 1.20581619 -14.639282 69.088179
    Unten rechts KachelX + 1 30104 KachelY + 1 15142 -0.25540780 1.20581619 -14.633789 69.088179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20585041-1.20581619) × R
    3.42200000000847e-05 × 6371000     		dl = 218.01562000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20585041-1.20581619) × R
    3.42200000000847e-05 × 6371000     		dr = 218.01562000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25550367--0.25540780) × cos(1.20585041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356898773547932 × 6371000     		do = 217.989406011072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25550367--0.25540780) × cos(1.20581619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356930739714636 × 6371000     		du = 218.008930554748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20585041)-sin(1.20581619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356898773547932-0.356930739714636)×R²
    abs(-0.25540780--0.25550367)×3.19661667042004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19661667042004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19661667042004e-05×40589641000000     		ar = 47527.2238376995m²