Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30102 / 39375
↖ ↑ ↗
← S 34.084512°
W 14.644775°		 ← 505.91 m → S 34.084512°
W 14.639282°		 →
↑
505.86 m
↓
↑
505.86 m
↓
S 34.089061°
W 14.644775°		 ← 505.89 m →
255 914 m²		 S 34.089061°
W 14.639282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459327697753906 y=0.600822448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459327697753906 × 216)
    floor (0.459327697753906 × 65536)
    floor (30102.5)     		tx = 30102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600822448730469 × 216)
    floor (0.600822448730469 × 65536)
    floor (39375.5)     		ty = 39375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30102 / 39375 ti = "16/30102/39375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30102/39375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30102 ÷ 216
    30102 ÷ 65536     		x = 0.459320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39375 ÷ 216
    39375 ÷ 65536     		y = 0.600814819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459320068359375 × 2 - 1) × π
    -0.08135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25559955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600814819335938 × 2 - 1) × π
    -0.201629638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.633438191579422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25559955} λ = -0.25559955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.633438191579422))-π/2
    2×atan(0.530763792683583)-π/2
    2×0.487954684809002-π/2
    0.975909369618005-1.57079632675     		φ = -0.59488696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25559955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.644775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59488696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.084512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30102 KachelY 39375 -0.25559955 -0.59488696 -14.644775 -34.084512
    Oben rechts KachelX + 1 30103 KachelY 39375 -0.25550367 -0.59488696 -14.639282 -34.084512
    Unten links KachelX 30102 KachelY + 1 39376 -0.25559955 -0.59496636 -14.644775 -34.089061
    Unten rechts KachelX + 1 30103 KachelY + 1 39376 -0.25550367 -0.59496636 -14.639282 -34.089061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59488696--0.59496636) × R
    7.94000000000628e-05 × 6371000     		dl = 505.8574000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59488696--0.59496636) × R
    7.94000000000628e-05 × 6371000     		dr = 505.8574000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25559955--0.25550367) × cos(-0.59488696) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.828211853458006 × 6371000     		do = 505.914436438327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25559955--0.25550367) × cos(-0.59496636) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.828167353885501 × 6371000     		du = 505.887253808603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59488696)-sin(-0.59496636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828211853458006-0.828167353885501)×R²
    abs(-0.25550367--0.25559955)×4.44995725047415e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44995725047415e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44995725047415e-05×40589641000000     		ar = 255913.686306535m²