Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30101 / 20269
↖ ↑ ↗
← N 56.423016°
W 14.650268°		 ← 337.80 m → N 56.423016°
W 14.644775°		 →
↑
337.79 m
↓
↑
337.79 m
↓
N 56.419979°
W 14.650268°		 ← 337.83 m →
114 110 m²		 N 56.419979°
W 14.644775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459312438964844 y=0.309288024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459312438964844 × 216)
    floor (0.459312438964844 × 65536)
    floor (30101.5)     		tx = 30101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309288024902344 × 216)
    floor (0.309288024902344 × 65536)
    floor (20269.5)     		ty = 20269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30101 / 20269 ti = "16/30101/20269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30101/20269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30101 ÷ 216
    30101 ÷ 65536     		x = 0.459304809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20269 ÷ 216
    20269 ÷ 65536     		y = 0.309280395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459304809570312 × 2 - 1) × π
    -0.081390380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25569542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309280395507812 × 2 - 1) × π
    0.381439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19832661670216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25569542} λ = -0.25569542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19832661670216))-π/2
    2×atan(3.31456574045441)-π/2
    2×1.2777818698717-π/2
    2.5555637397434-1.57079632675     		φ = 0.98476741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25569542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.650268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98476741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.423016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30101 KachelY 20269 -0.25569542 0.98476741 -14.650268 56.423016
    Oben rechts KachelX + 1 30102 KachelY 20269 -0.25559955 0.98476741 -14.644775 56.423016
    Unten links KachelX 30101 KachelY + 1 20270 -0.25569542 0.98471439 -14.650268 56.419979
    Unten rechts KachelX + 1 30102 KachelY + 1 20270 -0.25559955 0.98471439 -14.644775 56.419979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98476741-0.98471439) × R
    5.30199999999592e-05 × 6371000     		dl = 337.79041999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98476741-0.98471439) × R
    5.30199999999592e-05 × 6371000     		dr = 337.79041999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25569542--0.25559955) × cos(0.98476741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553056910247776 × 6371000     		do = 337.800396893322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25569542--0.25559955) × cos(0.98471439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553101082737575 × 6371000     		du = 337.827376909862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98476741)-sin(0.98471439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553056910247776-0.553101082737575)×R²
    abs(-0.25559955--0.25569542)×4.41724897991547e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41724897991547e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41724897991547e-05×40589641000000     		ar = 114110.294764825m²