Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3010 / 3398
↖ ↑ ↗
← N 29.305561°
W 47.724610°		 ← 4 261.13 m → N 29.305561°
W 47.680664°		 →
↑
4 261.88 m
↓
↑
4 261.88 m
↓
N 29.267233°
W 47.724610°		 ← 4 262.73 m →
18 163 828 m²		 N 29.267233°
W 47.680664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36749267578125 y=0.41485595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36749267578125 × 213)
    floor (0.36749267578125 × 8192)
    floor (3010.5)     		tx = 3010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41485595703125 × 213)
    floor (0.41485595703125 × 8192)
    floor (3398.5)     		ty = 3398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3010 / 3398 ti = "13/3010/3398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3010/3398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3010 ÷ 213
    3010 ÷ 8192     		x = 0.367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3398 ÷ 213
    3398 ÷ 8192     		y = 0.414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83295157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414794921875 × 2 - 1) × π
    0.17041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535359294956787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83295157} λ = -0.83295157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535359294956787))-π/2
    2×atan(1.70806183001952)-π/2
    2×1.04113743052856-π/2
    2.08227486105713-1.57079632675     		φ = 0.51147853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83295157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.724610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51147853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.305561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3010 KachelY 3398 -0.83295157 0.51147853 -47.724610 29.305561
    Oben rechts KachelX + 1 3011 KachelY 3398 -0.83218458 0.51147853 -47.680664 29.305561
    Unten links KachelX 3010 KachelY + 1 3399 -0.83295157 0.51080958 -47.724610 29.267233
    Unten rechts KachelX + 1 3011 KachelY + 1 3399 -0.83218458 0.51080958 -47.680664 29.267233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51147853-0.51080958) × R
    0.000668950000000001 × 6371000     		dl = 4261.88045000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51147853-0.51080958) × R
    0.000668950000000001 × 6371000     		dr = 4261.88045000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83295157--0.83218458) × cos(0.51147853) × R
    0.000766990000000023 × 0.872021769272083 × 6371000     		do = 4261.12852428209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83295157--0.83218458) × cos(0.51080958) × R
    0.000766990000000023 × 0.872349003146403 × 6371000     		du = 4262.72755041321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51147853)-sin(0.51080958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872021769272083-0.872349003146403)×R²
    abs(-0.83218458--0.83295157)×0.000327233874319877×R²
    0.000766990000000023×0.000327233874319877×6371000²
    0.000766990000000023×0.000327233874319877×40589641000000     		ar = 18163828.4590298m²