Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 301 / 560
↖ ↑ ↗
← N 62.915233°
W127.089844°		 ← 8 899.44 m → N 62.915233°
W126.914063°		 →
↑
8 911.63 m
↓
↑
8 911.63 m
↓
N 62.835089°
W127.089844°		 ← 8 923.78 m →
79 416 950 m²		 N 62.835089°
W126.914063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.147216796875 y=0.273681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.147216796875 × 211)
    floor (0.147216796875 × 2048)
    floor (301.5)     		tx = 301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273681640625 × 211)
    floor (0.273681640625 × 2048)
    floor (560.5)     		ty = 560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 301 / 560 ti = "11/301/560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/301/560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 301 ÷ 211
    301 ÷ 2048     		x = 0.14697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 560 ÷ 211
    560 ÷ 2048     		y = 0.2734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14697265625 × 2 - 1) × π
    -0.7060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.21813622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2734375 × 2 - 1) × π
    0.453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21813622} λ = -2.21813622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42353417111719))-π/2
    2×atan(4.15176759935729)-π/2
    2×1.33443714648737-π/2
    2.66887429297475-1.57079632675     		φ = 1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21813622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.089844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 301 KachelY 560 -2.21813622 1.09807797 -127.089844 62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 302 KachelY 560 -2.21506826 1.09807797 -126.914063 62.915233
    Unten links KachelX 301 KachelY + 1 561 -2.21813622 1.09667919 -127.089844 62.835089
    Unten rechts KachelX + 1 302 KachelY + 1 561 -2.21506826 1.09667919 -126.914063 62.835089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09807797-1.09667919) × R
    0.00139878000000015 × 6371000     		dl = 8911.62738000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09807797-1.09667919) × R
    0.00139878000000015 × 6371000     		dr = 8911.62738000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21813622--2.21506826) × cos(1.09807797) × R
    0.00306796000000009 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 8899.44204859543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21813622--2.21506826) × cos(1.09667919) × R
    0.00306796000000009 × 0.456553145222833 × 6371000     		du = 8923.77552263934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09807797)-sin(1.09667919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.456553145222833)×R²
    abs(-2.21506826--2.21813622)×0.00124493540662957×R²
    0.00306796000000009×0.00124493540662957×6371000²
    0.00306796000000009×0.00124493540662957×40589641000000     		ar = 79416949.8025963m²