Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30097 / 15353
↖ ↑ ↗
← N 68.670546°
W 14.672241°		 ← 222.19 m → N 68.670546°
W 14.666748°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
N 68.668548°
W 14.672241°		 ← 222.20 m →
49 362 m²		 N 68.668548°
W 14.666748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459251403808594 y=0.234275817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459251403808594 × 216)
    floor (0.459251403808594 × 65536)
    floor (30097.5)     		tx = 30097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234275817871094 × 216)
    floor (0.234275817871094 × 65536)
    floor (15353.5)     		ty = 15353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30097 / 15353 ti = "16/30097/15353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30097/15353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30097 ÷ 216
    30097 ÷ 65536     		x = 0.459243774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15353 ÷ 216
    15353 ÷ 65536     		y = 0.234268188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459243774414062 × 2 - 1) × π
    -0.081512451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25607892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234268188476562 × 2 - 1) × π
    0.531463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.66964221376656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25607892} λ = -0.25607892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66964221376656))-π/2
    2×atan(5.31026751664097)-π/2
    2×1.38466172299389-π/2
    2.76932344598777-1.57079632675     		φ = 1.19852712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25607892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.672241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19852712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.670546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30097 KachelY 15353 -0.25607892 1.19852712 -14.672241 68.670546
    Oben rechts KachelX + 1 30098 KachelY 15353 -0.25598304 1.19852712 -14.666748 68.670546
    Unten links KachelX 30097 KachelY + 1 15354 -0.25607892 1.19849225 -14.672241 68.668548
    Unten rechts KachelX + 1 30098 KachelY + 1 15354 -0.25598304 1.19849225 -14.666748 68.668548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19852712-1.19849225) × R
    3.48700000001312e-05 × 6371000     		dl = 222.156770000836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19852712-1.19849225) × R
    3.48700000001312e-05 × 6371000     		dr = 222.156770000836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25607892--0.25598304) × cos(1.19852712) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.363730142664321 × 6371000     		do = 222.185095967095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25607892--0.25598304) × cos(1.19849225) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.363762624000414 × 6371000     		du = 222.204937239319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19852712)-sin(1.19849225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363730142664321-0.363762624000414)×R²
    abs(-0.25598304--0.25607892)×3.24813360926823e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.24813360926823e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.24813360926823e-05×40589641000000     		ar = 49362.1272036602m²