Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30094 / 41736
↖ ↑ ↗
← S 44.119141°
W 14.688721°		 ← 438.48 m → S 44.119141°
W 14.683228°		 →
↑
438.52 m
↓
↑
438.52 m
↓
S 44.123085°
W 14.688721°		 ← 438.45 m →
192 274 m²		 S 44.123085°
W 14.683228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459205627441406 y=0.636848449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459205627441406 × 216)
    floor (0.459205627441406 × 65536)
    floor (30094.5)     		tx = 30094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636848449707031 × 216)
    floor (0.636848449707031 × 65536)
    floor (41736.5)     		ty = 41736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30094 / 41736 ti = "16/30094/41736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30094/41736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30094 ÷ 216
    30094 ÷ 65536     		x = 0.459197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41736 ÷ 216
    41736 ÷ 65536     		y = 0.6368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459197998046875 × 2 - 1) × π
    -0.08160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25636654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.859796231585327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25636654} λ = -0.25636654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859796231585327))-π/2
    2×atan(0.423248318170185)-π/2
    2×0.400386022098691-π/2
    0.800772044197383-1.57079632675     		φ = -0.77002428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25636654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.688721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77002428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.119141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30094 KachelY 41736 -0.25636654 -0.77002428 -14.688721 -44.119141
    Oben rechts KachelX + 1 30095 KachelY 41736 -0.25627067 -0.77002428 -14.683228 -44.119141
    Unten links KachelX 30094 KachelY + 1 41737 -0.25636654 -0.77009311 -14.688721 -44.123085
    Unten rechts KachelX + 1 30095 KachelY + 1 41737 -0.25627067 -0.77009311 -14.683228 -44.123085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77002428--0.77009311) × R
    6.88300000000197e-05 × 6371000     		dl = 438.515930000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77002428--0.77009311) × R
    6.88300000000197e-05 × 6371000     		dr = 438.515930000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25636654--0.25627067) × cos(-0.77002428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71789376723574 × 6371000     		do = 438.480733186807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25636654--0.25627067) × cos(-0.77009311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.717845849347015 × 6371000     		du = 438.45146552641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77002428)-sin(-0.77009311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71789376723574-0.717845849347015)×R²
    abs(-0.25627067--0.25636654)×4.79178887252685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79178887252685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79178887252685e-05×40589641000000     		ar = 192274.369408701m²