Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30094 / 41733
↖ ↑ ↗
← S 44.107310°
W 14.688721°		 ← 438.57 m → S 44.107310°
W 14.683228°		 →
↑
438.58 m
↓
↑
438.58 m
↓
S 44.111254°
W 14.688721°		 ← 438.54 m →
192 341 m²		 S 44.111254°
W 14.683228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459205627441406 y=0.636802673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459205627441406 × 216)
    floor (0.459205627441406 × 65536)
    floor (30094.5)     		tx = 30094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636802673339844 × 216)
    floor (0.636802673339844 × 65536)
    floor (41733.5)     		ty = 41733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30094 / 41733 ti = "16/30094/41733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30094/41733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30094 ÷ 216
    30094 ÷ 65536     		x = 0.459197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41733 ÷ 216
    41733 ÷ 65536     		y = 0.636795043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459197998046875 × 2 - 1) × π
    -0.08160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25636654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636795043945312 × 2 - 1) × π
    -0.273590087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.859508610187607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25636654} λ = -0.25636654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859508610187607))-π/2
    2×atan(0.423370070951554)-π/2
    2×0.400489273238632-π/2
    0.800978546477263-1.57079632675     		φ = -0.76981778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25636654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.688721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76981778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.107310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30094 KachelY 41733 -0.25636654 -0.76981778 -14.688721 -44.107310
    Oben rechts KachelX + 1 30095 KachelY 41733 -0.25627067 -0.76981778 -14.683228 -44.107310
    Unten links KachelX 30094 KachelY + 1 41734 -0.25636654 -0.76988662 -14.688721 -44.111254
    Unten rechts KachelX + 1 30095 KachelY + 1 41734 -0.25627067 -0.76988662 -14.683228 -44.111254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76981778--0.76988662) × R
    6.88399999999589e-05 × 6371000     		dl = 438.579639999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76981778--0.76988662) × R
    6.88399999999589e-05 × 6371000     		dr = 438.579639999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25636654--0.25627067) × cos(-0.76981778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.718037507454625 × 6371000     		do = 438.568527954559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25636654--0.25627067) × cos(-0.76988662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71798959280975 × 6371000     		du = 438.539262275466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76981778)-sin(-0.76988662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718037507454625-0.71798959280975)×R²
    abs(-0.25627067--0.25636654)×4.79146448747469e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79146448747469e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79146448747469e-05×40589641000000     		ar = 192340.80951605m²