Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30093 / 42109
↖ ↑ ↗
← S 45.571755°
W 14.694214°		 ← 427.56 m → S 45.571755°
W 14.688721°		 →
↑
427.56 m
↓
↑
427.56 m
↓
S 45.575600°
W 14.694214°		 ← 427.53 m →
182 801 m²		 S 45.575600°
W 14.688721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459190368652344 y=0.642539978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459190368652344 × 216)
    floor (0.459190368652344 × 65536)
    floor (30093.5)     		tx = 30093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642539978027344 × 216)
    floor (0.642539978027344 × 65536)
    floor (42109.5)     		ty = 42109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30093 / 42109 ti = "16/30093/42109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30093/42109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30093 ÷ 216
    30093 ÷ 65536     		x = 0.459182739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42109 ÷ 216
    42109 ÷ 65536     		y = 0.642532348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459182739257812 × 2 - 1) × π
    -0.081634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25646241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642532348632812 × 2 - 1) × π
    -0.285064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.895557158701889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25646241} λ = -0.25646241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895557158701889))-π/2
    2×atan(0.408380002771005)-π/2
    2×0.38770957771485-π/2
    0.7754191554297-1.57079632675     		φ = -0.79537717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25646241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.694214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79537717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.571755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30093 KachelY 42109 -0.25646241 -0.79537717 -14.694214 -45.571755
    Oben rechts KachelX + 1 30094 KachelY 42109 -0.25636654 -0.79537717 -14.688721 -45.571755
    Unten links KachelX 30093 KachelY + 1 42110 -0.25646241 -0.79544428 -14.694214 -45.575600
    Unten rechts KachelX + 1 30094 KachelY + 1 42110 -0.25636654 -0.79544428 -14.688721 -45.575600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79537717--0.79544428) × R
    6.71100000000369e-05 × 6371000     		dl = 427.557810000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79537717--0.79544428) × R
    6.71100000000369e-05 × 6371000     		dr = 427.557810000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25646241--0.25636654) × cos(-0.79537717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700015468301273 × 6371000     		do = 427.560886849231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25646241--0.25636654) × cos(-0.79544428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.699967541616318 × 6371000     		du = 427.531613816204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79537717)-sin(-0.79544428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700015468301273-0.699967541616318)×R²
    abs(-0.25636654--0.25646241)×4.79266849543469e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79266849543469e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79266849543469e-05×40589641000000     		ar = 182800.738534349m²