Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30093 / 29924
↖ ↑ ↗
← S 81.472779°
E150.611572°		 ← 181.14 m → S 81.472779°
E150.622559°		 →
↑
181.13 m
↓
↑
181.13 m
↓
S 81.474408°
E150.611572°		 ← 181.11 m →
32 807 m²		 S 81.474408°
E150.622559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918380737304688 y=0.913223266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918380737304688 × 215)
    floor (0.918380737304688 × 32768)
    floor (30093.5)     		tx = 30093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913223266601562 × 215)
    floor (0.913223266601562 × 32768)
    floor (29924.5)     		ty = 29924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30093 / 29924 ti = "15/30093/29924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30093/29924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30093 ÷ 215
    30093 ÷ 32768     		x = 0.918365478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29924 ÷ 215
    29924 ÷ 32768     		y = 0.9132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918365478515625 × 2 - 1) × π
    0.83673095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.62866783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.826416015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59626248342224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62866783} λ = 2.62866783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59626248342224))-π/2
    2×atan(0.0745516963560287)-π/2
    2×0.0744140367935055-π/2
    0.148828073587011-1.57079632675     		φ = -1.42196825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62866783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.611572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42196825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.472779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30093 KachelY 29924 2.62866783 -1.42196825 150.611572 -81.472779
    Oben rechts KachelX + 1 30094 KachelY 29924 2.62885958 -1.42196825 150.622559 -81.472779
    Unten links KachelX 30093 KachelY + 1 29925 2.62866783 -1.42199668 150.611572 -81.474408
    Unten rechts KachelX + 1 30094 KachelY + 1 29925 2.62885958 -1.42199668 150.622559 -81.474408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42196825--1.42199668) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dl = 181.127529999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42196825--1.42199668) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dr = 181.127529999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62866783-2.62885958) × cos(-1.42196825) × R
    0.000191749999999935 × 0.14827926634862 × 6371000     		do = 181.143771732617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62866783-2.62885958) × cos(-1.42199668) × R
    0.000191749999999935 × 0.148251150567312 × 6371000     		du = 181.109424390627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42196825)-sin(-1.42199668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14827926634862-0.148251150567312)×R²
    abs(2.62885958-2.62866783)×2.8115781307847e-05×R²
    0.000191749999999935×2.8115781307847e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.8115781307847e-05×40589641000000     		ar = 32807.0133260626m²