Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30092 / 42108
↖ ↑ ↗
← S 45.567910°
W 14.699707°		 ← 427.63 m → S 45.567910°
W 14.694214°		 →
↑
427.56 m
↓
↑
427.56 m
↓
S 45.571755°
W 14.699707°		 ← 427.61 m →
182 832 m²		 S 45.571755°
W 14.694214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459175109863281 y=0.642524719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459175109863281 × 216)
    floor (0.459175109863281 × 65536)
    floor (30092.5)     		tx = 30092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642524719238281 × 216)
    floor (0.642524719238281 × 65536)
    floor (42108.5)     		ty = 42108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30092 / 42108 ti = "16/30092/42108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30092/42108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30092 ÷ 216
    30092 ÷ 65536     		x = 0.45916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42108 ÷ 216
    42108 ÷ 65536     		y = 0.64251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.0816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25655829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64251708984375 × 2 - 1) × π
    -0.2850341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.895461284902649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25655829} λ = -0.25655829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895461284902649))-π/2
    2×atan(0.408419157590335)-π/2
    2×0.387743135434785-π/2
    0.77548627086957-1.57079632675     		φ = -0.79531006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25655829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.699707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79531006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.567910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30092 KachelY 42108 -0.25655829 -0.79531006 -14.699707 -45.567910
    Oben rechts KachelX + 1 30093 KachelY 42108 -0.25646241 -0.79531006 -14.694214 -45.567910
    Unten links KachelX 30092 KachelY + 1 42109 -0.25655829 -0.79537717 -14.699707 -45.571755
    Unten rechts KachelX + 1 30093 KachelY + 1 42109 -0.25646241 -0.79537717 -14.694214 -45.571755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79531006--0.79537717) × R
    6.71099999999258e-05 × 6371000     		dl = 427.557809999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79531006--0.79537717) × R
    6.71099999999258e-05 × 6371000     		dr = 427.557809999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25655829--0.25646241) × cos(-0.79531006) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.700063391833531 × 6371000     		do = 427.634758995547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25655829--0.25646241) × cos(-0.79537717) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.700015468301273 × 6371000     		du = 427.60548483494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79531006)-sin(-0.79537717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700063391833531-0.700015468301273)×R²
    abs(-0.25646241--0.25655829)×4.79235322581317e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79235322581317e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79235322581317e-05×40589641000000     		ar = 182832.322906412m²