Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30092 / 15123
↖ ↑ ↗
← N 69.125400°
W 14.699707°		 ← 217.66 m → N 69.125400°
W 14.694214°		 →
↑
217.70 m
↓
↑
217.70 m
↓
N 69.123442°
W 14.699707°		 ← 217.68 m →
47 386 m²		 N 69.123442°
W 14.694214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459175109863281 y=0.230766296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459175109863281 × 216)
    floor (0.459175109863281 × 65536)
    floor (30092.5)     		tx = 30092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230766296386719 × 216)
    floor (0.230766296386719 × 65536)
    floor (15123.5)     		ty = 15123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30092 / 15123 ti = "16/30092/15123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30092/15123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30092 ÷ 216
    30092 ÷ 65536     		x = 0.45916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15123 ÷ 216
    15123 ÷ 65536     		y = 0.230758666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.0816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25655829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230758666992188 × 2 - 1) × π
    0.538482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69169318759178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25655829} λ = -0.25655829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69169318759178))-π/2
    2×atan(5.42866467551327)-π/2
    2×1.38863107661968-π/2
    2.77726215323937-1.57079632675     		φ = 1.20646583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25655829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.699707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20646583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.125400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30092 KachelY 15123 -0.25655829 1.20646583 -14.699707 69.125400
    Oben rechts KachelX + 1 30093 KachelY 15123 -0.25646241 1.20646583 -14.694214 69.125400
    Unten links KachelX 30092 KachelY + 1 15124 -0.25655829 1.20643166 -14.699707 69.123442
    Unten rechts KachelX + 1 30093 KachelY + 1 15124 -0.25646241 1.20643166 -14.694214 69.123442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20646583-1.20643166) × R
    3.41699999999445e-05 × 6371000     		dl = 217.697069999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20646583-1.20643166) × R
    3.41699999999445e-05 × 6371000     		dr = 217.697069999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25655829--0.25646241) × cos(1.20646583) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.356323815673071 × 6371000     		do = 217.660930163252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25655829--0.25646241) × cos(1.20643166) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.356355742632711 × 6371000     		du = 217.6804327938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20646583)-sin(1.20643166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356323815673071-0.356355742632711)×R²
    abs(-0.25646241--0.25655829)×3.19269596407157e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.19269596407157e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.19269596407157e-05×40589641000000     		ar = 47386.2695873824m²