Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30091 / 42107
↖ ↑ ↗
← S 45.564064°
W 14.705200°		 ← 427.62 m → S 45.564064°
W 14.699707°		 →
↑
427.62 m
↓
↑
427.62 m
↓
S 45.567910°
W 14.705200°		 ← 427.59 m →
182 853 m²		 S 45.567910°
W 14.699707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459159851074219 y=0.642509460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459159851074219 × 216)
    floor (0.459159851074219 × 65536)
    floor (30091.5)     		tx = 30091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642509460449219 × 216)
    floor (0.642509460449219 × 65536)
    floor (42107.5)     		ty = 42107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30091 / 42107 ti = "16/30091/42107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30091/42107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30091 ÷ 216
    30091 ÷ 65536     		x = 0.459152221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42107 ÷ 216
    42107 ÷ 65536     		y = 0.642501831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459152221679688 × 2 - 1) × π
    -0.081695556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25665416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642501831054688 × 2 - 1) × π
    -0.285003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.895365411103409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25665416} λ = -0.25665416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895365411103409))-π/2
    2×atan(0.408458316163766)-π/2
    2×0.387776695452215-π/2
    0.77555339090443-1.57079632675     		φ = -0.79524294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25665416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.705200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79524294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.564064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30091 KachelY 42107 -0.25665416 -0.79524294 -14.705200 -45.564064
    Oben rechts KachelX + 1 30092 KachelY 42107 -0.25655829 -0.79524294 -14.699707 -45.564064
    Unten links KachelX 30091 KachelY + 1 42108 -0.25665416 -0.79531006 -14.705200 -45.567910
    Unten rechts KachelX + 1 30092 KachelY + 1 42108 -0.25655829 -0.79531006 -14.699707 -45.567910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79524294--0.79531006) × R
    6.71200000000871e-05 × 6371000     		dl = 427.621520000555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79524294--0.79531006) × R
    6.71200000000871e-05 × 6371000     		dr = 427.621520000555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25665416--0.25655829) × cos(-0.79524294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700111319353214 × 6371000     		do = 427.619431499498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25665416--0.25655829) × cos(-0.79531006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700063391833531 × 6371000     		du = 427.590157956629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79524294)-sin(-0.79531006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700111319353214-0.700063391833531)×R²
    abs(-0.25655829--0.25665416)×4.79275196834106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79275196834106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79275196834106e-05×40589641000000     		ar = 182853.01235001m²