Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30090 / 42794
↖ ↑ ↗
← S 48.144098°
W 14.710693°		 ← 407.55 m → S 48.144098°
W 14.705200°		 →
↑
407.55 m
↓
↑
407.55 m
↓
S 48.147763°
W 14.710693°		 ← 407.52 m →
166 094 m²		 S 48.147763°
W 14.705200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459144592285156 y=0.652992248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459144592285156 × 216)
    floor (0.459144592285156 × 65536)
    floor (30090.5)     		tx = 30090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652992248535156 × 216)
    floor (0.652992248535156 × 65536)
    floor (42794.5)     		ty = 42794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30090 / 42794 ti = "16/30090/42794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30090/42794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30090 ÷ 216
    30090 ÷ 65536     		x = 0.459136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42794 ÷ 216
    42794 ÷ 65536     		y = 0.652984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.08172607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25675003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.30596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.961230711181366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25675003} λ = -0.25675003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961230711181366))-π/2
    2×atan(0.382421945274513)-π/2
    2×0.365261651222971-π/2
    0.730523302445943-1.57079632675     		φ = -0.84027302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25675003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.710693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84027302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.144098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30090 KachelY 42794 -0.25675003 -0.84027302 -14.710693 -48.144098
    Oben rechts KachelX + 1 30091 KachelY 42794 -0.25665416 -0.84027302 -14.705200 -48.144098
    Unten links KachelX 30090 KachelY + 1 42795 -0.25675003 -0.84033699 -14.710693 -48.147763
    Unten rechts KachelX + 1 30091 KachelY + 1 42795 -0.25665416 -0.84033699 -14.705200 -48.147763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84027302--0.84033699) × R
    6.39699999999133e-05 × 6371000     		dl = 407.552869999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84027302--0.84033699) × R
    6.39699999999133e-05 × 6371000     		dr = 407.552869999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25675003--0.25665416) × cos(-0.84027302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667259498502907 × 6371000     		do = 407.5539411019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25675003--0.25665416) × cos(-0.84033699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667211850661765 × 6371000     		du = 407.524838383264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84027302)-sin(-0.84033699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667259498502907-0.667211850661765)×R²
    abs(-0.25665416--0.25675003)×4.76478411410852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76478411410852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76478411410852e-05×40589641000000     		ar = 166093.847984107m²