Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30090 / 20278
↖ ↑ ↗
← N 56.395665°
W 14.710693°		 ← 338.04 m → N 56.395665°
W 14.705200°		 →
↑
338.11 m
↓
↑
338.11 m
↓
N 56.392624°
W 14.710693°		 ← 338.07 m →
114 300 m²		 N 56.392624°
W 14.705200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459144592285156 y=0.309425354003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459144592285156 × 216)
    floor (0.459144592285156 × 65536)
    floor (30090.5)     		tx = 30090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309425354003906 × 216)
    floor (0.309425354003906 × 65536)
    floor (20278.5)     		ty = 20278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30090 / 20278 ti = "16/30090/20278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30090/20278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30090 ÷ 216
    30090 ÷ 65536     		x = 0.459136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20278 ÷ 216
    20278 ÷ 65536     		y = 0.309417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.08172607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25675003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309417724609375 × 2 - 1) × π
    0.38116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.197463752509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25675003} λ = -0.25675003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.197463752509))-π/2
    2×atan(3.31170695391073)-π/2
    2×1.27754317759308-π/2
    2.55508635518616-1.57079632675     		φ = 0.98429003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25675003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.710693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98429003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.395665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30090 KachelY 20278 -0.25675003 0.98429003 -14.710693 56.395665
    Oben rechts KachelX + 1 30091 KachelY 20278 -0.25665416 0.98429003 -14.705200 56.395665
    Unten links KachelX 30090 KachelY + 1 20279 -0.25675003 0.98423696 -14.710693 56.392624
    Unten rechts KachelX + 1 30091 KachelY + 1 20279 -0.25665416 0.98423696 -14.705200 56.392624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98429003-0.98423696) × R
    5.30699999999884e-05 × 6371000     		dl = 338.108969999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98429003-0.98423696) × R
    5.30699999999884e-05 × 6371000     		dr = 338.108969999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25675003--0.25665416) × cos(0.98429003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553454573247409 × 6371000     		do = 338.043284590079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25675003--0.25665416) × cos(0.98423696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553498773375866 × 6371000     		du = 338.070281487973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98429003)-sin(0.98423696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553454573247409-0.553498773375866)×R²
    abs(-0.25665416--0.25675003)×4.42001284570726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42001284570726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42001284570726e-05×40589641000000     		ar = 114300.030742005m²