Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30089 / 15195
↖ ↑ ↗
← N 68.984016°
W 14.716187°		 ← 219.07 m → N 68.984016°
W 14.710693°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
N 68.982046°
W 14.716187°		 ← 219.09 m →
48 000 m²		 N 68.982046°
W 14.710693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459129333496094 y=0.231864929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459129333496094 × 216)
    floor (0.459129333496094 × 65536)
    floor (30089.5)     		tx = 30089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231864929199219 × 216)
    floor (0.231864929199219 × 65536)
    floor (15195.5)     		ty = 15195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30089 / 15195 ti = "16/30089/15195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30089/15195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30089 ÷ 216
    30089 ÷ 65536     		x = 0.459121704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15195 ÷ 216
    15195 ÷ 65536     		y = 0.231857299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459121704101562 × 2 - 1) × π
    -0.081756591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25684591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231857299804688 × 2 - 1) × π
    0.536285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68479027404649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25684591} λ = -0.25684591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68479027404649))-π/2
    2×atan(5.3913201140211)-π/2
    2×1.38739726695725-π/2
    2.77479453391449-1.57079632675     		φ = 1.20399821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25684591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.716187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20399821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.984016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30089 KachelY 15195 -0.25684591 1.20399821 -14.716187 68.984016
    Oben rechts KachelX + 1 30090 KachelY 15195 -0.25675003 1.20399821 -14.710693 68.984016
    Unten links KachelX 30089 KachelY + 1 15196 -0.25684591 1.20396382 -14.716187 68.982046
    Unten rechts KachelX + 1 30090 KachelY + 1 15196 -0.25675003 1.20396382 -14.710693 68.982046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20399821-1.20396382) × R
    3.43899999999397e-05 × 6371000     		dl = 219.098689999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20399821-1.20396382) × R
    3.43899999999397e-05 × 6371000     		dr = 219.098689999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25684591--0.25675003) × cos(1.20399821) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.358628380146894 × 6371000     		do = 219.068676782716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25684591--0.25675003) × cos(1.20396382) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.358660482326285 × 6371000     		du = 219.088286446508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20399821)-sin(1.20396382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358628380146894-0.358660482326285)×R²
    abs(-0.25675003--0.25684591)×3.21021793912024e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.21021793912024e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.21021793912024e-05×40589641000000     		ar = 47999.8083334855m²