Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30088 / 15144
↖ ↑ ↗
← N 69.084257°
W 14.721680°		 ← 218.05 m → N 69.084257°
W 14.716187°		 →
↑
218.08 m
↓
↑
218.08 m
↓
N 69.082296°
W 14.721680°		 ← 218.07 m →
47 554 m²		 N 69.082296°
W 14.716187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459114074707031 y=0.231086730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459114074707031 × 216)
    floor (0.459114074707031 × 65536)
    floor (30088.5)     		tx = 30088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231086730957031 × 216)
    floor (0.231086730957031 × 65536)
    floor (15144.5)     		ty = 15144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30088 / 15144 ti = "16/30088/15144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30088/15144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30088 ÷ 216
    30088 ÷ 65536     		x = 0.4591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15144 ÷ 216
    15144 ÷ 65536     		y = 0.2310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4591064453125 × 2 - 1) × π
    -0.081787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25694178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2310791015625 × 2 - 1) × π
    0.537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68967983780774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25694178} λ = -0.25694178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68967983780774))-π/2
    2×atan(5.41774587003686)-π/2
    2×1.38827203680177-π/2
    2.77654407360354-1.57079632675     		φ = 1.20574775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25694178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.721680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20574775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.084257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30088 KachelY 15144 -0.25694178 1.20574775 -14.721680 69.084257
    Oben rechts KachelX + 1 30089 KachelY 15144 -0.25684591 1.20574775 -14.716187 69.084257
    Unten links KachelX 30088 KachelY + 1 15145 -0.25694178 1.20571352 -14.721680 69.082296
    Unten rechts KachelX + 1 30089 KachelY + 1 15145 -0.25684591 1.20571352 -14.716187 69.082296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20574775-1.20571352) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dl = 218.079330000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20574775-1.20571352) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dr = 218.079330000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25694178--0.25684591) × cos(1.20574775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3569946707941 × 6371000     		do = 218.047978876208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25694178--0.25684591) × cos(1.20571352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357026645047727 × 6371000     		du = 218.067508359278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20574775)-sin(1.20571352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3569946707941-0.357026645047727)×R²
    abs(-0.25684591--0.25694178)×3.1974253627165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1974253627165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1974253627165e-05×40589641000000     		ar = 47553.8866342277m²