Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30087 / 42369
↖ ↑ ↗
← S 46.562637°
W 14.727173°		 ← 420 m → S 46.562637°
W 14.721680°		 →
↑
419.98 m
↓
↑
419.98 m
↓
S 46.566414°
W 14.727173°		 ← 419.97 m →
176 383 m²		 S 46.566414°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459098815917969 y=0.646507263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459098815917969 × 216)
    floor (0.459098815917969 × 65536)
    floor (30087.5)     		tx = 30087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646507263183594 × 216)
    floor (0.646507263183594 × 65536)
    floor (42369.5)     		ty = 42369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30087 / 42369 ti = "16/30087/42369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30087/42369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30087 ÷ 216
    30087 ÷ 65536     		x = 0.459091186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42369 ÷ 216
    42369 ÷ 65536     		y = 0.646499633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459091186523438 × 2 - 1) × π
    -0.081817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25703766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646499633789062 × 2 - 1) × π
    -0.292999267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.920484346504318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25703766} λ = -0.25703766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920484346504318))-π/2
    2×atan(0.398326066517112)-π/2
    2×0.379062498575921-π/2
    0.758124997151842-1.57079632675     		φ = -0.81267133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25703766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.727173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81267133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.562637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30087 KachelY 42369 -0.25703766 -0.81267133 -14.727173 -46.562637
    Oben rechts KachelX + 1 30088 KachelY 42369 -0.25694178 -0.81267133 -14.721680 -46.562637
    Unten links KachelX 30087 KachelY + 1 42370 -0.25703766 -0.81273725 -14.727173 -46.566414
    Unten rechts KachelX + 1 30088 KachelY + 1 42370 -0.25694178 -0.81273725 -14.721680 -46.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81267133--0.81273725) × R
    6.59199999999416e-05 × 6371000     		dl = 419.976319999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81267133--0.81273725) × R
    6.59199999999416e-05 × 6371000     		dr = 419.976319999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25703766--0.25694178) × cos(-0.81267133) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.687561165065057 × 6371000     		do = 419.997755270482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25703766--0.25694178) × cos(-0.81273725) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.687513297314588 × 6371000     		du = 419.968515184264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81267133)-sin(-0.81273725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687561165065057-0.687513297314588)×R²
    abs(-0.25694178--0.25703766)×4.7867750469055e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7867750469055e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7867750469055e-05×40589641000000     		ar = 176382.971658737m²