Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30087 / 42121
↖ ↑ ↗
← S 45.617880°
W 14.727173°		 ← 427.25 m → S 45.617880°
W 14.721680°		 →
↑
427.18 m
↓
↑
427.18 m
↓
S 45.621721°
W 14.727173°		 ← 427.22 m →
182 506 m²		 S 45.621721°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459098815917969 y=0.642723083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459098815917969 × 216)
    floor (0.459098815917969 × 65536)
    floor (30087.5)     		tx = 30087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642723083496094 × 216)
    floor (0.642723083496094 × 65536)
    floor (42121.5)     		ty = 42121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30087 / 42121 ti = "16/30087/42121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30087/42121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30087 ÷ 216
    30087 ÷ 65536     		x = 0.459091186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42121 ÷ 216
    42121 ÷ 65536     		y = 0.642715454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459091186523438 × 2 - 1) × π
    -0.081817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25703766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642715454101562 × 2 - 1) × π
    -0.285430908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.89670764429277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25703766} λ = -0.25703766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89670764429277))-π/2
    2×atan(0.407910437627972)-π/2
    2×0.387307064277951-π/2
    0.774614128555903-1.57079632675     		φ = -0.79618220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25703766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.727173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79618220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.617880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30087 KachelY 42121 -0.25703766 -0.79618220 -14.727173 -45.617880
    Oben rechts KachelX + 1 30088 KachelY 42121 -0.25694178 -0.79618220 -14.721680 -45.617880
    Unten links KachelX 30087 KachelY + 1 42122 -0.25703766 -0.79624925 -14.727173 -45.621721
    Unten rechts KachelX + 1 30088 KachelY + 1 42122 -0.25694178 -0.79624925 -14.721680 -45.621721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79618220--0.79624925) × R
    6.70500000000684e-05 × 6371000     		dl = 427.175550000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79618220--0.79624925) × R
    6.70500000000684e-05 × 6371000     		dr = 427.175550000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25703766--0.25694178) × cos(-0.79618220) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.699440347326033 × 6371000     		do = 427.254171335789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25703766--0.25694178) × cos(-0.79624925) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.699392425723452 × 6371000     		du = 427.224898353928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79618220)-sin(-0.79624925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699440347326033-0.699392425723452)×R²
    abs(-0.25694178--0.25703766)×4.79216025817131e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79216025817131e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79216025817131e-05×40589641000000     		ar = 182506.283347992m²