Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30087 / 15139
↖ ↑ ↗
← N 69.094060°
W 14.727173°		 ← 217.97 m → N 69.094060°
W 14.721680°		 →
↑
217.95 m
↓
↑
217.95 m
↓
N 69.092100°
W 14.727173°		 ← 217.99 m →
47 510 m²		 N 69.092100°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459098815917969 y=0.231010437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459098815917969 × 216)
    floor (0.459098815917969 × 65536)
    floor (30087.5)     		tx = 30087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231010437011719 × 216)
    floor (0.231010437011719 × 65536)
    floor (15139.5)     		ty = 15139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30087 / 15139 ti = "16/30087/15139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30087/15139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30087 ÷ 216
    30087 ÷ 65536     		x = 0.459091186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15139 ÷ 216
    15139 ÷ 65536     		y = 0.231002807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459091186523438 × 2 - 1) × π
    -0.081817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25703766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231002807617188 × 2 - 1) × π
    0.537994384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69015920680394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25703766} λ = -0.25703766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69015920680394))-π/2
    2×atan(5.42034359202019)-π/2
    2×1.38835758373596-π/2
    2.77671516747191-1.57079632675     		φ = 1.20591884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25703766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.727173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20591884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.094060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30087 KachelY 15139 -0.25703766 1.20591884 -14.727173 69.094060
    Oben rechts KachelX + 1 30088 KachelY 15139 -0.25694178 1.20591884 -14.721680 69.094060
    Unten links KachelX 30087 KachelY + 1 15140 -0.25703766 1.20588463 -14.727173 69.092100
    Unten rechts KachelX + 1 30088 KachelY + 1 15140 -0.25694178 1.20588463 -14.721680 69.092100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20591884-1.20588463) × R
    3.42100000001455e-05 × 6371000     		dl = 217.951910000927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20591884-1.20588463) × R
    3.42100000001455e-05 × 6371000     		dr = 217.951910000927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25703766--0.25694178) × cos(1.20591884) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356834849302442 × 6371000     		do = 217.973095811957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25703766--0.25694178) × cos(1.20588463) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356866806963296 × 6371000     		du = 217.992617196387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20591884)-sin(1.20588463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356834849302442-0.356866806963296)×R²
    abs(-0.25694178--0.25703766)×3.19576608548977e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.19576608548977e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.19576608548977e-05×40589641000000     		ar = 47509.7799270993m²