Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30087 / 14977
↖ ↑ ↗
← N 69.409311°
W 14.727173°		 ← 214.83 m → N 69.409311°
W 14.721680°		 →
↑
214.83 m
↓
↑
214.83 m
↓
N 69.407379°
W 14.727173°		 ← 214.85 m →
46 154 m²		 N 69.407379°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459098815917969 y=0.228538513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459098815917969 × 216)
    floor (0.459098815917969 × 65536)
    floor (30087.5)     		tx = 30087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228538513183594 × 216)
    floor (0.228538513183594 × 65536)
    floor (14977.5)     		ty = 14977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30087 / 14977 ti = "16/30087/14977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30087/14977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30087 ÷ 216
    30087 ÷ 65536     		x = 0.459091186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14977 ÷ 216
    14977 ÷ 65536     		y = 0.228530883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459091186523438 × 2 - 1) × π
    -0.081817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25703766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228530883789062 × 2 - 1) × π
    0.542938232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70569076228084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25703766} λ = -0.25703766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70569076228084))-π/2
    2×atan(5.50518712972505)-π/2
    2×1.39110866375395-π/2
    2.7822173275079-1.57079632675     		φ = 1.21142100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25703766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.727173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21142100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.409311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30087 KachelY 14977 -0.25703766 1.21142100 -14.727173 69.409311
    Oben rechts KachelX + 1 30088 KachelY 14977 -0.25694178 1.21142100 -14.721680 69.409311
    Unten links KachelX 30087 KachelY + 1 14978 -0.25703766 1.21138728 -14.727173 69.407379
    Unten rechts KachelX + 1 30088 KachelY + 1 14978 -0.25694178 1.21138728 -14.721680 69.407379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21142100-1.21138728) × R
    3.37200000000148e-05 × 6371000     		dl = 214.830120000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21142100-1.21138728) × R
    3.37200000000148e-05 × 6371000     		dr = 214.830120000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25703766--0.25694178) × cos(1.21142100) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.351689534912992 × 6371000     		do = 214.830072902096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25703766--0.25694178) × cos(1.21138728) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.351721100568078 × 6371000     		du = 214.849354829223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21142100)-sin(1.21138728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351689534912992-0.351721100568078)×R²
    abs(-0.25694178--0.25703766)×3.15656550859966e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.15656550859966e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.15656550859966e-05×40589641000000     		ar = 46154.0415146912m²