Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30086 / 15137
↖ ↑ ↗
← N 69.097980°
W 14.732666°		 ← 217.91 m → N 69.097980°
W 14.727173°		 →
↑
217.95 m
↓
↑
217.95 m
↓
N 69.096020°
W 14.732666°		 ← 217.93 m →
47 496 m²		 N 69.096020°
W 14.727173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459083557128906 y=0.230979919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459083557128906 × 216)
    floor (0.459083557128906 × 65536)
    floor (30086.5)     		tx = 30086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230979919433594 × 216)
    floor (0.230979919433594 × 65536)
    floor (15137.5)     		ty = 15137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30086 / 15137 ti = "16/30086/15137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30086/15137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30086 ÷ 216
    30086 ÷ 65536     		x = 0.459075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15137 ÷ 216
    15137 ÷ 65536     		y = 0.230972290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.08184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25713353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230972290039062 × 2 - 1) × π
    0.538055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69035095440242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25713353} λ = -0.25713353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69035095440242))-π/2
    2×atan(5.42138302953854)-π/2
    2×1.38839179178473-π/2
    2.77678358356947-1.57079632675     		φ = 1.20598726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25713353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.732666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20598726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.097980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30086 KachelY 15137 -0.25713353 1.20598726 -14.732666 69.097980
    Oben rechts KachelX + 1 30087 KachelY 15137 -0.25703766 1.20598726 -14.727173 69.097980
    Unten links KachelX 30086 KachelY + 1 15138 -0.25713353 1.20595305 -14.732666 69.096020
    Unten rechts KachelX + 1 30087 KachelY + 1 15138 -0.25703766 1.20595305 -14.727173 69.096020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20598726-1.20595305) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dl = 217.951909999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20598726-1.20595305) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dr = 217.951909999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25713353--0.25703766) × cos(1.20598726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356770932727932 × 6371000     		do = 217.911322401709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25713353--0.25703766) × cos(1.20595305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356802891223974 × 6371000     		du = 217.930842260239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20598726)-sin(1.20595305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356770932727932-0.356802891223974)×R²
    abs(-0.25703766--0.25713353)×3.19584960421504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19584960421504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19584960421504e-05×40589641000000     		ar = 47496.3161277331m²