Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30084 / 15189
↖ ↑ ↗
← N 68.995833°
W 14.743653°		 ← 218.95 m → N 68.995833°
W 14.738159°		 →
↑
218.97 m
↓
↑
218.97 m
↓
N 68.993863°
W 14.743653°		 ← 218.97 m →
47 946 m²		 N 68.993863°
W 14.738159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459053039550781 y=0.231773376464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459053039550781 × 216)
    floor (0.459053039550781 × 65536)
    floor (30084.5)     		tx = 30084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231773376464844 × 216)
    floor (0.231773376464844 × 65536)
    floor (15189.5)     		ty = 15189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30084 / 15189 ti = "16/30084/15189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30084/15189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30084 ÷ 216
    30084 ÷ 65536     		x = 0.45904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15189 ÷ 216
    15189 ÷ 65536     		y = 0.231765747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45904541015625 × 2 - 1) × π
    -0.0819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25732528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231765747070312 × 2 - 1) × π
    0.536468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68536551684193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25732528} λ = -0.25732528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68536551684193))-π/2
    2×atan(5.39442232425111)-π/2
    2×1.38750038846379-π/2
    2.77500077692757-1.57079632675     		φ = 1.20420445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25732528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.743653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20420445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.995833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30084 KachelY 15189 -0.25732528 1.20420445 -14.743653 68.995833
    Oben rechts KachelX + 1 30085 KachelY 15189 -0.25722940 1.20420445 -14.738159 68.995833
    Unten links KachelX 30084 KachelY + 1 15190 -0.25732528 1.20417008 -14.743653 68.993863
    Unten rechts KachelX + 1 30085 KachelY + 1 15190 -0.25722940 1.20417008 -14.738159 68.993863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20420445-1.20417008) × R
    3.43700000000613e-05 × 6371000     		dl = 218.971270000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20420445-1.20417008) × R
    3.43700000000613e-05 × 6371000     		dr = 218.971270000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25732528--0.25722940) × cos(1.20420445) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.358435851520377 × 6371000     		do = 218.951070386266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25732528--0.25722940) × cos(1.20417008) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.358467937571964 × 6371000     		du = 218.970670198365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20420445)-sin(1.20417008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358435851520377-0.358467937571964)×R²
    abs(-0.25722940--0.25732528)×3.20860515871102e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.20860515871102e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.20860515871102e-05×40589641000000     		ar = 47946.1398529602m²