Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30083 / 15136
↖ ↑ ↗
← N 69.099940°
W 14.749145°		 ← 217.89 m → N 69.099940°
W 14.743653°		 →
↑
217.89 m
↓
↑
217.89 m
↓
N 69.097980°
W 14.749145°		 ← 217.91 m →
47 478 m²		 N 69.097980°
W 14.743653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459037780761719 y=0.230964660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459037780761719 × 216)
    floor (0.459037780761719 × 65536)
    floor (30083.5)     		tx = 30083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230964660644531 × 216)
    floor (0.230964660644531 × 65536)
    floor (15136.5)     		ty = 15136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30083 / 15136 ti = "16/30083/15136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30083/15136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30083 ÷ 216
    30083 ÷ 65536     		x = 0.459030151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15136 ÷ 216
    15136 ÷ 65536     		y = 0.23095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459030151367188 × 2 - 1) × π
    -0.081939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25742115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23095703125 × 2 - 1) × π
    0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25742115} λ = -0.25742115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69044682820166))-π/2
    2×atan(5.42190282304361)-π/2
    2×1.3884088935114-π/2
    2.7768177870228-1.57079632675     		φ = 1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25742115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.749145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30083 KachelY 15136 -0.25742115 1.20602146 -14.749145 69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 30084 KachelY 15136 -0.25732528 1.20602146 -14.743653 69.099940
    Unten links KachelX 30083 KachelY + 1 15137 -0.25742115 1.20598726 -14.749145 69.097980
    Unten rechts KachelX + 1 30084 KachelY + 1 15137 -0.25732528 1.20598726 -14.743653 69.097980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20602146-1.20598726) × R
    3.42000000002063e-05 × 6371000     		dl = 217.888200001314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20602146-1.20598726) × R
    3.42000000002063e-05 × 6371000     		dr = 217.888200001314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25742115--0.25732528) × cos(1.20602146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 217.891807994156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25742115--0.25732528) × cos(1.20598726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356770932727932 × 6371000     		du = 217.911322401709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20602146)-sin(1.20598726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.356770932727932)×R²
    abs(-0.25732528--0.25742115)×3.19495715389584e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19495715389584e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19495715389584e-05×40589641000000     		ar = 47478.1798231191m²