Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30083 / 14975
↖ ↑ ↗
← N 69.413174°
W 14.749145°		 ← 214.77 m → N 69.413174°
W 14.743653°		 →
↑
214.77 m
↓
↑
214.77 m
↓
N 69.411243°
W 14.749145°		 ← 214.79 m →
46 127 m²		 N 69.411243°
W 14.743653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459037780761719 y=0.228507995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459037780761719 × 216)
    floor (0.459037780761719 × 65536)
    floor (30083.5)     		tx = 30083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228507995605469 × 216)
    floor (0.228507995605469 × 65536)
    floor (14975.5)     		ty = 14975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30083 / 14975 ti = "16/30083/14975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30083/14975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30083 ÷ 216
    30083 ÷ 65536     		x = 0.459030151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14975 ÷ 216
    14975 ÷ 65536     		y = 0.228500366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459030151367188 × 2 - 1) × π
    -0.081939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25742115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228500366210938 × 2 - 1) × π
    0.542999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70588250987932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25742115} λ = -0.25742115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70588250987932))-π/2
    2×atan(5.50624283734783)-π/2
    2×1.39114237853977-π/2
    2.78228475707953-1.57079632675     		φ = 1.21148843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25742115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.749145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21148843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.413174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30083 KachelY 14975 -0.25742115 1.21148843 -14.749145 69.413174
    Oben rechts KachelX + 1 30084 KachelY 14975 -0.25732528 1.21148843 -14.743653 69.413174
    Unten links KachelX 30083 KachelY + 1 14976 -0.25742115 1.21145472 -14.749145 69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 30084 KachelY + 1 14976 -0.25732528 1.21145472 -14.743653 69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21148843-1.21145472) × R
    3.37099999998536e-05 × 6371000     		dl = 214.766409999067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21148843-1.21145472) × R
    3.37099999998536e-05 × 6371000     		dr = 214.766409999067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25742115--0.25732528) × cos(1.21148843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351626411764607 × 6371000     		do = 214.769111914801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25742115--0.25732528) × cos(1.21145472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 214.788386601516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21148843)-sin(1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351626411764607-0.351657968858022)×R²
    abs(-0.25732528--0.25742115)×3.15570934147913e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15570934147913e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15570934147913e-05×40589641000000     		ar = 46127.2609269364m²