Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30082 / 42138
↖ ↑ ↗
← S 45.683158°
W 14.754638°		 ← 426.71 m → S 45.683158°
W 14.749145°		 →
↑
426.73 m
↓
↑
426.73 m
↓
S 45.686996°
W 14.754638°		 ← 426.68 m →
182 084 m²		 S 45.686996°
W 14.749145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459022521972656 y=0.642982482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459022521972656 × 216)
    floor (0.459022521972656 × 65536)
    floor (30082.5)     		tx = 30082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642982482910156 × 216)
    floor (0.642982482910156 × 65536)
    floor (42138.5)     		ty = 42138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30082 / 42138 ti = "16/30082/42138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30082/42138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30082 ÷ 216
    30082 ÷ 65536     		x = 0.459014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42138 ÷ 216
    42138 ÷ 65536     		y = 0.642974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.08197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25751702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642974853515625 × 2 - 1) × π
    -0.28594970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.898337498879852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25751702} λ = -0.25751702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898337498879852))-π/2
    2×atan(0.407246144427799)-π/2
    2×0.386737403218119-π/2
    0.773474806436238-1.57079632675     		φ = -0.79732152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25751702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.754638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79732152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.683158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30082 KachelY 42138 -0.25751702 -0.79732152 -14.754638 -45.683158
    Oben rechts KachelX + 1 30083 KachelY 42138 -0.25742115 -0.79732152 -14.749145 -45.683158
    Unten links KachelX 30082 KachelY + 1 42139 -0.25751702 -0.79738850 -14.754638 -45.686996
    Unten rechts KachelX + 1 30083 KachelY + 1 42139 -0.25742115 -0.79738850 -14.749145 -45.686996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79732152--0.79738850) × R
    6.69799999999388e-05 × 6371000     		dl = 426.72957999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79732152--0.79738850) × R
    6.69799999999388e-05 × 6371000     		dr = 426.72957999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25751702--0.25742115) × cos(-0.79732152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698625631817714 × 6371000     		do = 426.711991722773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25751702--0.25742115) × cos(-0.79738850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69857770690424 × 6371000     		du = 426.682719771745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79732152)-sin(-0.79738850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698625631817714-0.69857770690424)×R²
    abs(-0.25742115--0.25751702)×4.7924913473385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7924913473385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7924913473385e-05×40589641000000     		ar = 182084.383473212m²