Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30082 / 15142
↖ ↑ ↗
← N 69.088179°
W 14.754638°		 ← 218.01 m → N 69.088179°
W 14.749145°		 →
↑
218.02 m
↓
↑
218.02 m
↓
N 69.086218°
W 14.754638°		 ← 218.03 m →
47 531 m²		 N 69.086218°
W 14.749145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459022521972656 y=0.231056213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459022521972656 × 216)
    floor (0.459022521972656 × 65536)
    floor (30082.5)     		tx = 30082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231056213378906 × 216)
    floor (0.231056213378906 × 65536)
    floor (15142.5)     		ty = 15142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30082 / 15142 ti = "16/30082/15142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30082/15142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30082 ÷ 216
    30082 ÷ 65536     		x = 0.459014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15142 ÷ 216
    15142 ÷ 65536     		y = 0.231048583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.08197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25751702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231048583984375 × 2 - 1) × π
    0.53790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68987158540622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25751702} λ = -0.25751702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68987158540622))-π/2
    2×atan(5.41878480940049)-π/2
    2×1.38830626017241-π/2
    2.77661252034483-1.57079632675     		φ = 1.20581619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25751702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.754638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20581619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.088179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30082 KachelY 15142 -0.25751702 1.20581619 -14.754638 69.088179
    Oben rechts KachelX + 1 30083 KachelY 15142 -0.25742115 1.20581619 -14.749145 69.088179
    Unten links KachelX 30082 KachelY + 1 15143 -0.25751702 1.20578197 -14.754638 69.086218
    Unten rechts KachelX + 1 30083 KachelY + 1 15143 -0.25742115 1.20578197 -14.749145 69.086218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20581619-1.20578197) × R
    3.42199999998627e-05 × 6371000     		dl = 218.015619999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20581619-1.20578197) × R
    3.42199999998627e-05 × 6371000     		dr = 218.015619999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25751702--0.25742115) × cos(1.20581619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356930739714636 × 6371000     		do = 218.008930554748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25751702--0.25742115) × cos(1.20578197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356962705463371 × 6371000     		du = 218.028454843135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20581619)-sin(1.20578197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356930739714636-0.356962705463371)×R²
    abs(-0.25742115--0.25751702)×3.19657487350966e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19657487350966e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19657487350966e-05×40589641000000     		ar = 47531.4804646124m²